周　平

(文山学院 数学学院，云南 文山 663000)



M-矩阵与其逆矩阵的q(A∘A-1)的进一步研究

周平

(文山学院 数学学院，云南 文山 663000)

摘要：利用特征值包含域定理，对M-矩阵A与其逆矩阵的τ(A∘A-1)作了进一步研究，并获得新的估计式；理论分析且数值算例表明，新估计式改进了Fiedler和Markham的猜想，同时也改进了有关的结果.

关键词：M-矩阵；最小特征值；下界；双随机

1符号说明和基本定义

定义1[1]设A=(ai j)∈Rn×n,若aij>0;i,j∈N,则称A为正矩阵,记为A>0；若aij≥0;i,j∈N,则称A为非负矩阵,记为A≥0.

定义2[1-10]设A=(ai j)∈Rn×n且ai j≤0;i≠j;i,j∈N，则称A为Z-矩阵,记所有n×n阶Z-矩阵所成之集为Zn.

定义3[2-3]若A=(ai j)∈Zn可表示为A=sI-P,其中P≥0,s≥ρ(P),则称A为M-矩阵.特别地,当s=ρ(P)时,称A为奇异M-矩阵；当s>ρ(P)时,称A为非奇异M-矩阵.记所有n阶非奇异M-矩阵所组成的集合为Mn.

定义4[4]设A=(ai j)∈Cm×n,B=(bi j)∈Cm×n,定义A∘B=(ai jbi j)∈Cm×n，即：

A∘B称为A和B的Hadamard积.

定义6[2]设A=(ai j)∈Zn,记q(A)=min{Re(λ):λ∈σ(A)},称q(A)为A的最小特征值.

定义8[4]设A≥0且A的每一列元素和为1，则A称为随机的；若A≥0，A的每一列元素和为1且A的每一行元素和也为1，则A称为双随机矩阵.

2τ(A∘A-1)的新估计式

引理2[6-7]设A-1是双随机矩阵，则Ae=e，ATe=e，其中e=(1,1,…,1)T.

引理3[8]设A=(ai j)∈Rn×n,若A有如下不可约标准形：

其中P为置换矩阵，Ai或不可约或为0，i=1,2,…,s,则:

引理4[10]如果A=(ai j)为行严格对角占优M-矩阵，那么A-1=(βi j)存在，且有：

定理1设A=(ai j)∈Rn×n是非奇异M-矩阵,A-1=(βi j)是双随机矩阵，则:

证明当n=1时显然成立.下面对n≥2的情况进行证明.

情形Ⅰ 记λ=q(B∘A-1).当A为不可约矩阵时，根据已知条件和引理2有：

所以

即

故

情形Ⅱ当A是可约矩阵时，为了不失一般性，根据引理3，假设A具有如下块上三角形式：

文献[10]中给出的定理3.3,说明文献[10]中的结果包含于定理1内.

3数值例子

根据定义3知，A∈Mn,且既是严格行对角占优又是严格列对角占优矩阵.……