胡成，陈得良

（长沙理工大学土木与建筑学院，湖南长沙 410004）



考虑钢筋约束效应双裂纹砼梁的动力响应∗

胡成，陈得良

（长沙理工大学土木与建筑学院，湖南长沙 410004）

摘要：在考虑纵向钢筋约束和裂纹区应力集中双效应的基础上，基于Euler-Bernoulli梁理论，建立了含双裂纹钢筋砼梁受迫振动下的动力响应模型；运用Galerkin方法对含双裂纹梁的动力响应方程进行分析，探讨了裂纹深度、裂纹位置、裂纹间距及钢筋约束效应对具裂纹钢筋砼梁动力响应的影响。结果表明，分析含裂纹钢筋砼梁的动力响应时不能忽略纵向钢筋的约束效应，同时裂纹位置和深度等参数会对结构动力响应产生影响。

关键词：桥梁；钢筋砼梁；双裂纹；受迫振动；钢筋约束；动力响应

图1　钢筋砼双裂纹梁模型

钢筋位移模式为：

式中：us、ws分别为钢筋在X和Z方向任意点的位移；σsxx、εsxx分别为钢筋在X方向的应力和应变。

砼位移模式为：

式中：uc、wc分别为砼在X和Z方向的位移；σcxx、εcxx分别为砼在X方向的应力和应变；Ts为零时表示钢筋砼梁不存在裂纹，为1时表示钢筋砼梁存在裂纹；φj（x，z）为引进裂纹影响因子函数，沿梁轴方向表现出指数衰减，其形式见式（3）。

式中：aj为第j个裂纹的深度；d为半梁高；xcj为第j个裂纹所在位置；u（d-a-z）为Heaviside函数，其表达式见式（4）。

基于Hamilton能量原理建立具有多条裂纹的钢筋砼梁的动力学控制方程，利用变分原理和边界条件可得：

式中：δ为变分符号；T为动能；U为应变能；V为结构外力势能；t为时间变量。

砼梁动能为：

钢筋动能为：

式中：Vc为砼体积；ρc为砼密度；Ac为砼梁截面面积；Vs为钢筋体积；ρs为钢筋的密度；为受压区钢筋面积；为受拉区钢筋面积。

砼部分和钢筋部分应变能为：

式中：Ec为砼的弹性模量；Es为钢筋的弹性模量；的计算公式见式（9）。

外力势能V为：

式中：q（x，t）为分布荷载。

利用式（5）～（9）可得到含双裂纹钢筋砼梁受迫振动的动力学方程：

对式（10）分离变量求解，设：

将式（11）、式（12）代入式（10），可得：

式中：

式（14）两边同时乘以sin（jπx/l），并沿梁长积分，可得：

将式（15）写成矩阵的形式：

式中：T=［T1，T2，…，Tn］T为n阶列向量；M为质量矩阵；K为刚度矩阵；Q为广义力矩阵。

M、K、Q可写成：

2　数值算例

以长l=6 m、高d=0.2 m、宽b=0.1 m的钢筋砼梁为例进行分析。砼的弹性模量Ec=2.8× 104MPa，钢筋的弹性模量Es=2.1×105MPa；砼密度ρc=2 460 kg/m3，钢筋密度ρs=7 860 kg/m3；分别为受压和受拉区钢筋面积，截面面积均为158×10-2m2。

2.1钢筋约束的影响

图2为不同裂纹深度双裂纹梁在跨中处作用P =8 000 N、频率为10 Hz的正弦荷载时的动力响应。其中裂纹一位于1/4L处，裂纹二位于3/4L处，两裂纹深度一样。由图2可以看出：对于含裂纹钢筋砼梁，不计纵向钢筋的约束效应时得到的位移响应大于计纵向钢筋约束效应时的位移响应。表明含裂纹钢筋砼梁的动力响应研究中不应忽略纵向钢筋的约束效应。

图2　不同裂纹深度时钢筋约束对含裂纹钢筋砼梁位移响应的影响

2.2裂纹深度的影响（对称裂纹）

图3为裂纹处于不同位置时含裂纹钢筋砼梁的动力响应。图3表明：裂纹在不同对称位置时，随着裂纹深度的增加，梁的位移响应增大。

2.3裂纹间距的影响

图4为裂纹一位于1/6L处，钢筋砼梁动力响应随裂纹二位置变化的情况。裂纹深度a=0.05 m。从图4可以看出：裂纹二处于3/6L时，位移响应值最大；裂纹二处于5/6L时，位移响应值最小。说明裂纹间距从2/6L增加到4/6L的过程中，随着裂纹间距的增加，位移响应越来越小。

图3　裂纹处于不同位置时裂纹深度对含裂纹钢筋砼梁位移响应的影响

图4　裂纹深度a=0.05 m时裂纹间距对含裂纹钢筋砼梁位移响应的影响

3　结论

该文基于Euler-Bernoulli梁理论，引入应力影响因子函数，分别建立了含裂纹钢筋砼梁中钢筋和砼部分的能量表达式；利用Hamilton变分原理，得到了受迫振动下双裂纹梁的动力响应控制方程，在此基础上研究了纵向钢筋约束效应及裂纹深度、裂纹位置、裂纹间距等参数对双裂纹钢筋砼梁受迫振动的影响。结论如下：

（1）考虑纵向钢筋约束效应时含裂纹钢筋砼梁的位移响应小于不考虑纵向钢筋约束效应时的值，研究钢筋砼梁时其纵向钢筋的约束效应不应忽略。

（2）在裂纹位置不变时，具裂纹钢筋砼梁的位移响应随着裂纹深度的增加而增加。

（3）裂纹深度不变时，双裂纹梁的位移响应随着裂纹之间间距的增大而减小。

参考文献：

［1］ 罗青松.含裂缝的预应力钢筋混凝土梁固有频率的有限元分析［J］.华中科技大学学报：城市科学版，2006，22（增刊2）.

［2］ 张炜，毛崎波，聂彦平.含任意数目裂纹梁的振动分析［J］.机械设计与制造，2012（10）.

［3］ Roberto Capozucca.A reflection on the application of vibration tests for the assessment of cracking in PRC/ RC beams［J］.Engineering Structures，2013，48.

［4］ 王洪霞，李学平.含表面裂纹简支梁的非线性振动分析［J］.动力学与控制学报，2010，8（2）.

［5］ 林缨，李学平.结构多位置裂缝识别的有限元方法［J］.南京师大学报：自然科学版，2012，35（1）.

［6］ 王文亭，陈得良，刘峰.考虑钢筋约束效应的开裂混凝土梁的自由振动［J］.长沙理工大学学报：自然科学版，2011，8（2）.

［7］ D Chen，F Liu.Free vibration of a single-edge cracked RC beam strengthened with FRP［J］.Journal of Engineering Mechanics，2014，140（6）.

研究中作如下假定：钢筋砼为均质的弹性材料；应变沿着梁截面高度线性变化；裂纹微小且属于不闭合裂纹；裂纹张开时，考虑钢筋约束效应。

中图分类号：U448.34

文献标志码：A

文章编号：1671-2668（2016）03-0161-04

基金项目：∗湖南省自然科学基金资助项目（2015JJ4006）；长沙理工大学桥梁工程湖南省高校重点实验室开放基金项目
钢筋砼梁结构是重要的承重结构，在现代土木工程中应用广泛，无论是桥梁还是建筑结构其都很重要。然而钢筋砼结构在制造和使用过程中极易产生各种形式的裂纹，裂纹的存在将对结构刚度、挠度及结构稳定性和使用寿命产生很大影响。为此，国内外学者针对具裂纹砼结构的静、动力学问题进行了深入研究。罗青松利用有限元法分析了预应力钢筋砼一阶固有频率与钢筋预应力大小、布筋方式、裂缝深度及裂缝位置的关系；张炜等通过递推方法，分析了含任意数目裂纹梁在多种边界条件下的振动问题；Roberto Capozucca对具裂纹PRC/RC梁的振动问题进行了试验研究，并将相关试验结果和理论分析结果进行了对比分析，研究表明砼梁材料的非均匀性和非线性对砼开裂梁的动力学特性有重要影响；王洪霞、林缨等数值模拟了简支梁的非线性振动问题；王文亭等在考虑纵向钢筋约束效应和裂纹区应力集中效应的基础上，对含单裂纹钢筋砼梁的自由振动问题进行了研究。该文基于文献［6］～［7］，在考虑纵向钢筋约束效应和裂纹区应力集中效应的基础上，将相关含单裂纹钢筋砼梁的研究成果推广到含双裂纹钢筋砼梁的动力响应研究中，研究双裂纹下钢筋砼的位移情况及裂纹深度、裂纹位置、钢筋约束对双裂纹钢筋砼梁的影响。
1考虑钢筋约束效应的双裂纹砼梁受迫振动方程
图1为含双裂纹钢筋砼梁模型，梁长为l，梁高为2d，梁宽为2b。梁中性轴以上布置纵向受压钢筋，面积为As1；中性轴以下布置纵向受拉钢筋，面积为As2。两种钢筋中心与中心轴的距离分别为Za1和Za2。钢筋砼梁上存在与梁端距离分别为xc1和xc2的2条裂纹，裂纹深度分别为a1和a2。p sin（ωt）为外界受迫荷载。

收稿日期：2016-02-13