王晓

（商洛学院数学与计算机应用学院，陕西　商洛　726000）

树图和单圈图的调和指标

王晓

（商洛学院数学与计算机应用学院，陕西商洛726000）

摘要：利用改变图的叶子点数目的变换，得到了关于调和指标的两个引理，证明了固定阶数的树图和单圈图的调和指标的紧的上下界，并给出相应极值的图类。

关键词：调和指标；树图；单圈图

设G＝（V（G），E（G））表示一个图，其中V（G）和E（G）分别表示G的顶点集和边集。图G的顶点数目｜V（G）｜称为G的阶，对于任意u∈V（G），NG（u）和dG（u）分别表示图G中u的邻点集和顶点度。其他涉及到的概念参阅文献［1］。

图G的调和指标H（G）［2－5］是Randic指标的一种重要形式，定义为Zhong［3－4］和Liu［5］分别给出了在树图、单圈图和不含三角形的图上调和指标的性质，Deng［6］给出了图的色数和调和指标的关系，文献［7－8］对仙人掌图的调和指标进行了研究。树图和单圈图在分子拓扑结构中起着重要作用，本文中我们利用改变图的叶子点数目的两个变换及其对应的关于调和指标的引理，用一种简单方式，重新证明了固定阶数的树图和单圈图的调和指标的紧的上下界，并给出相应极值的图类。

1　改变图的叶子点数目的变换

首先，我们定义改变图的叶子点数目的两种变换，并给出相应的关于调和指标的引理。

增加叶子点变换：设图G中存在边e＝uv满足u，v都不是叶子点并且e是一条割边或者其所在最短圈的长度至少为4，则删去顶点v，将G中与v关联的边都与u关联，且增加一个新的顶点，记为v′，与u关联，所得的新图记为G′，称图G′是G经过增加叶子点变换而得到图。……