何忠华， 曹广福, 何 莉

(1.广东金融学院应用数学系，广东 广州 510521；2.广州大学数学与信息科学学院，广东 广州 510006)

Bloch-Orlicz型空间上积分型算子与复合算子的乘积*

何忠华1， 曹广福2, 何 莉2

(1.广东金融学院应用数学系，广东 广州 510521；2.广州大学数学与信息科学学院，广东 广州 510006)

Bloch型空间；Orlicz空间；复合算子；积分型算子

设D是复平面C中的单位圆盘，H(D)表示D上的解析函数全体。若f∈H(D)且

则称f(z)为Bloch函数, 其全体记为Β，它在范数‖f‖|f(0)|+‖f‖Β下成为一个Banach空间[1-2]。函数f∈H(D)称为μ-Bloch函数(记为f∈Βμ)，如果

显然，若μ(z)=1-|z|2，则Βμ就是Bloch空间。易知，在范数‖f‖Βμ|f(0)|+‖f‖μ下，Βμ是一个Banach空间。

其中λ>0与f有关，则称f(z)是Bloch-Orlicz函数，其全体记为Βφ。显然，当φ(t)=t(t≥0)时，Βφ就是Bloch空间。不失一般性，我们可以假设φ-1在(0,∞)上是连续可微的。事实上，如果φ-1不是处处可微的， 令

从而Βφ=Βψ。由于φ是凸函数，因此不难验证

是Βφ的一个半范数。其中

同时，易知在范数‖f‖Βφ=|f(0)|+‖f‖φ下，Βφ是一个Banach空间。

设φ是D到自身的解析映射，定义H(D)上的复合算子为

到目前为止，用函数φ的性质来刻画复合算子的有界性和紧性，已经有不少学者对各种函数空间的情形做了详细的研究[4-11]。

对于解析映射g:D→C，H(D)上的积分型算子Jg和Ig分别定义为

和

算子Jg和Ig的重要性从下式可以体现出来

Jgf+Igf=Mgf-f(0)g(0)

其中Mgf=fg是乘子算子。

受文献[3,12]的启发，本文研究复合算子Cφ和积分型算子Ig的乘积

它们最先在文献[13]中提出，此后被广泛研究。文中给出了上述算子在Bloch-Orlicz上的连续性、下有界性和紧性的刻画。

1 算子CφIg和IgCφ的连续性

首先，我们给出证明中需要用到的几个引理。

引理1[3]对任意f∈Βφ{0}，有

引理2[3]Bloch-Orlicz空间等距同构于μ-Bloch空间，其中

引理3[3]对固定的a∈D，存在fa∈H(D)使得对任意z∈D都有

注1 对任意a∈D，fa如引理3中提到的, 则ha(z)=∫z0fa(s)ds∈Βφ。事实上, 由于

定理1 算子CφIg在Βφ上连续当且仅当

证明 令

则对任意f∈Βφ{0}，由引理2可得

从而由引理1可知‖CφIgf‖φ≤L‖f‖φ，即CφIg在Βφ上连续。

反之，若CφIg在Βφ上连续，则对任意f∈Βφ，存在L>0，使得

由引理3可知，对任意a∈D，存在ha∈Βφ，使得‖ha‖φ=1且

于是由CφIg的连续性可得

从而

即对任意a∈D，有

特别地，令a=φ(z)，则

所以

于是

与定理1类似的证明方法，易得以下结论。

定理 2 算子IgCφ在Βφ上连续当且仅当

2 算子CφIg和IgCφ的下有界性

令

集合G⊆D称为Βφ的样本集，如果存在L>0，使得对任意f∈Βφ有

定理3 设CφIg是Βφ上的连续算子，则CφIg是Βφ上的下有界算子当且仅当存在ε>0，使得Gε=φ(Ωε),是Βφ的样本集。

证明 若存在ε>0，使得Gε=φ{Ωε}是Βφ的样本集，则存在L>0，使得对任意f∈Βφ有

于是

从而CφIg是Βφ上的下有界算子。

反之，若CφIg是Βφ上的下有界算子，则存在K>0，使得对f∈Βφ，‖f‖μ=1有

于是由上确界定义可知，存在zf∈D使得

从而

(1)

而μ(φ(zf))|f′(φ(zf))|≤1，故有

令ε=K/2，则有zf∈Ωε。因为CφIg连续，所以由定理1可知，存在只与μ和φ有关的常数M>0，使得

(2)

于是由式(1)和式(2)可得

又φ(zf)∈Gε，故必有

于是Gε是Βφ的样本集。

与定理3类似的证明方法，易得以下结论。

3 算子CφIg和IgCφ的紧性

引理4[12]算子CφIg是Βφ上的紧算子当且仅当对Βφ中在D的任意紧子集上一致收敛于0的有界序列{fn}，当n→∞时,‖CφIgfn‖μ→0。

定理5 算子CφIg是Βφ上的紧算子当且仅当算子CφIg有界且

证明 充分性。设{fn}是Βφ中的有界序列，且在D的任意紧子集上一致收敛于0，则由引理4可知，只需证当n→∞时,有‖CφIgfn‖μ→0。令K=supn‖fn‖μ，则对ε>0，存在r∈(0,1)使得对任意满足r<|φ(z)|<1的z∈D有

于是当r<|φ(z)|<1时有

(3)

C(φ(z))‖φ′(z)|<∞

因此，对ε>0，存在N∈N*，使得当n≥N时有

(4)

于是由式(3)和式(4)可得

而{fn}在D的任意紧子集上一致收敛于0，故由上式可得CφIg是Βφ上的紧算子。

必要性。若CφIg是Βφ上的紧算子，则显然也是连续的。故若假设存在ε0>0， 使得对任意r∈(0,1)有

则对给定实数列{rn}⊂(0,1)使得当n→∞时rn→1，总能找到序列{zn}⊂D，使得|φ(zn)|>rn且

其中wn=φ(zn)。对n∈N及z∈D，令

其中fwn是引理3中函数fa当a=wn的情形，则{hn}⊂Βφ。由于

φ-1是满足φ-1(0)=0的递增的连续函数且

故{hn}是D在的任意紧子集上一致收敛于0的有界序列，且满足

所以CφIg不是Βφ上的紧算子，与假设矛盾。

与定理5类似的证明方法，易得以下结论。

定理6 算子IgCφ是Βφ上的紧算子当且仅当算子IgCφ有界且

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Products of integral-type operator and composition operator on Bloch-Orlicz type spaces

HEZhonghua1,CAOGuangfu2,HELi2

(1. Department of Applied Mathematics, Guangdong University of Finance, Guangzhou 510521, China;2. School of Mathematics and Information Sciences, Guangzhou University, Guangzhou 510006, China)

Bloch type space; Orlicz space; composition operator; integral type operator

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.01.008

2015-07-28

国家自然科学基金资助项目(11501130，11271092)；广东金融学院省级数学建模教学团队资助项目

何忠华(1984年生)，男；研究方向：泛函分析、算子理论和算子代数;E-mail:zhonghuahe2010@163.com

O

A

0529-6579(2016)01-0044-04