◎朱 薇

(南海一中,广东 佛山 528000)

巧用“分界点”解决一类含参讨论问题

◎朱 薇

(南海一中,广东 佛山 528000)

对这类导函数涉及二次函数的分类讨论问题，首先要解决的任务是分类准确，有没有简便易操作的方法让学生轻松完成这个步骤？我们可以直接把以上三种情况“=0”时参数的值算出来就找到了参数的“分界点”.在已知条件下，用这些“分界点”去分参数，可以保证所分出来的类“不重不漏”.

分界点；函数；含参讨论

一、引出“分界点”的含义

例1 (2009年福建)点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________.

二、提出问题

例2 (2011年广东文)设a>0,讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性.

【考点】利用导数研究函数的单调性.

解 定义域{x|x>0}.

设g(x)=2a(1-a)x2-2(1-a)x+1，x∈(0，+∞).

①若a=1，则g(x)=1>0,

∴在(0，+∞)上有f′(x)>0，即f(x)在(0，+∞)上是增函数.

②若a>1，则2a(1-a)<0，g(x)的图像开口向下，

此时Δ=[-2(1-a)]2-4×2a(1-a)×1=4(1-a)(1-3a)>0.

方程2a(1-a)x2-2(1-a)x+1=0有两个不等的实根,

③若00，g(x)的图像开口向上，

此时Δ=[-2(1-a)]2-4×2a(1-a)×1=4(1-a)(1-3a),

即f′(x)≥0，f(x)是增函数；

即f′(x)>0，f(x)是增函数；

g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)是减函数.

分析 这道题这里我们研究利用导数求单调区间的含参讨论问题，而这个导函数是灵活的二次函数.在这一题，不少高三同学是选择放弃或得分较低的，因为复习了一年，还是不能很好地处理，主要是突破不了对参数的分类.有些同学因为一直不是很会分，总是不敢下手，部分同学思路是有的，但因为这类题对思维的严谨性和完整性要求较高，所以有时考场一紧张，分类方面就多分或少分或分错而造成得分不高.

三、分析问题

思路突破：这道题在求好导函数和定义域后，其实本质就是解决导函数所对应的方程在定义域……