355毫升易拉罐最优设计
2016-05-30戴之卓
戴之卓
【摘要】观察了市场中355毫升易拉罐的形状,从节约材料、美观、焊接等方面对易拉罐进行优化设计,建立了5个层次的数学模型,借助不等式、单调性、一元函數微分等知识进行分析探讨,最后对模型进行拓展改进,提出更合理的数学模型.
【关键词】易拉罐;最优;一元函数微分学
市面上,饮料量为355毫升的易拉罐的形状和尺寸几乎都是一样的,这应该不是偶然现象.易拉罐的设计是在应用很多数学知识优化后设计出来的,我们用数学模型分析易拉罐的形状和尺寸,探寻在某种意义下的最优设计.
1.只考虑材料最省的正圆柱体易拉罐设计
图 1假设包装是标准的圆柱,忽略包装材料的接缝,设圆柱底面半径为r,圆柱高为h,上底厚度为a,圆柱厚度为b、下底厚度为c,易拉罐的容积为V,易拉罐制作用料体积为y,则有
V=πr2h,y=2πrhb+πr2(a+c),
r2h=Vh,
由不等式a+b+c≥33abc[1]可得
y=πrhb+πrhb+πr2(a+c)≥3π3r4h2b2(a+c)=3π3(Vπ)2b2(a+c)
当且仅当πrhb=πr2(a+c),即rh=ba+c时,易拉罐制作用料体积最小.
根据测量,饮料量为355毫升的可乐、雪碧等的易拉罐上底厚度为约在0.034 cm,圆柱厚度约为0.012 cm、下底厚度约为0.040 cm[2],则rh=ba+c≈0.162,实际下底半径约为3.28 cm,高约为10.90 cm,rh≈0.301,通过该模型测算结果与实践值出入很大.
2.只考虑焊缝工作量最小的正圆柱易拉罐设计
如果易拉罐是图1这样的正圆柱体,焊缝是在上下底圆周和侧面,总的焊缝工作量为L=4πr+Vπr2=2πr+2πr+Vπr2≥334πV,当r=3V2π2时,总的焊缝工作量取最小值334πV.
3.材料最省和焊缝工作量都考虑的最小正圆柱易拉罐设计
假设铝合金的价格为k1元/cm3,假设易拉罐的焊接价格为k2元/cm.那么目标函数需要为
y=[2πrhb+πr2(a+c)]k1+[4πr+Vπr2]k2.
可用导数去求解最优值:
dydr=[2πhb+2πr(a+c)]k1+[4π-2Vπr3]k2
令dydr=0,即π(πhbk1+2πk2)r3+πk1(a+c)r4-Vk2=0,求此方程的非负实数解,就可以得到最优设计.
4.基于黄金分割律的正圆柱体易拉罐设计
黄金分割律又称黄金律,是指事物各部分间一定的数学比例关系,即将整体一分为二,较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比,其比值为1∶0.618或1.618∶1,即长段为全段的0.618.在线段AB上,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果ACAB=BCAC,那么称线段AB被点C黄金分割(golden section),点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.其中ACAB≈0.618.
著名的古希腊数学家毕达哥拉斯有一句名言:“凡是美的东西都具有共同的特征,就是部分与部分及部分与整体之间的协调一致.”自从古希腊数学家欧多克索首次发现了“黄金比”后,0.618这一数据便成了“协调一致”公认的美学规律.
考虑易拉罐的美观,易拉罐设计应该满足2rh=0.618,则r=0.309h,易拉罐制作用料体积y=2πrhb+πr2(a+c)=[0.618π+0.3092(a+c)π]h2,此函数为二次函数,在h>0时,y单调自增函数.又有V=πr2h,h=3V0.3092π,则r=30.309Vπ.很显然,实际体积可以不小于V,所以当r=30.309Vπ,h=3V0.3092π时,y取最小值.用V=355带入得到r=3.269,h=10.579,改进后的模型计算结果与实际易拉罐尺寸测量数据比较接近.
图 25.上部分是正圆台和下部分是圆柱体的易拉罐设计
圆柱形易拉罐在开启时用力拉伸容易使易拉罐变形,所以把易拉罐设计成上面部分是正圆台和下面部分圆柱体,从而使其刚性增加.最优为以实际的易拉罐并不是一个圆柱体,把易拉罐设计成上面部分是正圆台和下面部分圆柱体.设圆柱上表面半径为r1,圆柱下底面半径为r2,圆台高为h1,圆柱高为h2,上底厚度为a,圆柱厚度为b、下底厚度为c,圆台厚度为d,易拉罐的容积为V,易拉罐制作用料体积为y,则y=2πr2h1b+πr21a+πr22c+π(r1+r2)h22+(r2-r1)2d,
V=πr22h1+π3(r21+r22+r1r2)h2,
考虑到美观,基于黄金分割律可得
2r2h1+h2=0.618,从而r2=0.309h1+0.309h2.
考虑圆台和圆柱体结合处的粘合性,圆柱台的坡度最优为tanα=h2r2-r1=103[3],从而得r1=r2-0.3h2=0.309h1+0.009h2.这个数学模型为带有约束条件的最小值问题,求解较为复杂.按照饮料量为355毫升的可乐、雪碧等的易拉罐上底厚度为约在0.034 cm,圆柱厚度约为0.012 cm、下底厚度约为0.040 cm,圆台厚度0.020 cm,可以通过lingo软件求解h1=9.857,从而可以得h2=0.739,r1=3.052,r2=3.274.
6.模型的改进
制作易拉罐的费用除了材料费外,易拉罐的制造过程中焊接接口工作量.那么目标函数需要改进为
y=[2πr2h1b+πr21a+πr22c+π(r1+r2)h22+(r2-r1)2d]k1+[h1+2π(r1+r2)+h22+(r2-r1)2]k2在满足体积、焊接粘合性和黄金分割律约束条件下,所求得最优值,应该会更加合理.另外,易拉罐底部,也不一定是平的.在考虑耐受冲击力的情况下,底部是一个圆凹槽可能会更好,这些都值得我们进一步研究.
【参考文献】
[1]刘彭芝,王珉珠.中学数学课题学习指导[M].北京:中国人民大学出版社,2010:44-48.
[2]郝玉徽.易拉罐形状和尺寸的最优设计模型[J].大学数学,2009,25(2):147-153.
[3]相秀芬.易拉罐的最优设计方案[J].包装工程,2008,29(1):94-96.
[4]周文国.易拉罐的设计方案[J].中学数学教学,2002,5(1):12-13.