张小勇

摘要：本课例从第24界国际数学家大会的会标“风车”出发，引导学生层层递进，逐渐感知基本不等式和简单应用。反思在核心概念和命题的教学上，如何使学生能很好地生成理解、接近问题的本质，提高课堂教学效果。

关键词：基本不等式；教学效果；教学反思

中图分类号：G632.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）34-0271-02

新课程理念倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，教学过程中，教师应力求发挥学生学习的主动性，让学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，基于此，最近笔者在高二上了一节公开课，课题是人教版A版必修5第三章“3.4基本不等式 ≤ ”，设计了“情境创设—探究升华—数学建构—知识应用—巩固拓展”的教学主线，问题环环相扣，使学生能很好地生成理解、接近问题的本质。结合课堂实录，分享一下我的一些想法和反思。

一、教学实录

1.情境创设。师：（多媒体展示图略）如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，同学们，有谁知道中国古代数学家赵爽的一些历史贡献吗？众生：不太清楚。（多媒体展示）赵爽是东汉末至三国时代吴国人。我国历史上著名的数学家与天文学家。主要贡献是约在222年深入研究了《周髀》，赵爽为该书写了序言，并作了详细注释。其中一段530余字的“勾股圆方图”，它详细解释了《周髀算经》中勾股定理，给出了新的证明。

问题1：我想同学们对风车并不陌生，我们从这个“风车”中，找出一些相等和不等关系。

设计意图：数学教学只有从问题开始才有其生命力，创设一个问题情境，既提出本节课研究的问题，又使学生体会数学的应用价值，感受学习数学新知识的必要性。

生1：四个直角三角形与小正方形的面积的和等于大正方形的面积，但不等关系感觉无从下手。

师：好的，四个直角三角形的面积和与大正方形的面积进行比较呢？

生1：显然四个直角三角形的面积和小于大正方形的面积。

师：很好，接下来我们将图中的“风车”抽象成数学模型（多媒体展示图），我们能把生1找出的不等关系用一个式子表示出来吗？（学生积极思考，相互讨论）

师：由图中已知的数据，大正方形的面积和4个直角三角形的面积和分别是多少？

生2：大正方形的面积为a +b ，4个直角三角形的面积和为2ab.

师：很好，生1所说的不等式就可以表示为a +b >2ab，那么这个不等式能取等号吗？

生3：可以，当正方形EFGH缩为一个点。

师：很好（多媒体展示）。

师：在“风车”中，我们得出不等式：a +b ≥2ab，当a=b时，取等号，一般我们称之为重要不等式。

重要不等式：对于任意实数a，b，有a +b ≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立。（板书）

2.探究升华。

问题2：若把上式中的a和b分别用 （a>0）和 （b>0）替代，会得到什么式子？

设计意图：以重要不等式为引例，引出“算术平均数”和“几何平均数”两个概念，为新课讲解埋下伏笔。

众生：a+b≥2 .

师：我们也可以表述为 ≤ ，这就是我们今天要讲的内容，基本不等式。（教师板书课题3.4基本不等式 ≤ ）。（学生填写）课本第110页基本不等式的分析法证明。（略）

问题3：（课本第110页）在图4中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式 ≤ 的几何解释吗？

设计意图：通过对基本不等式的证明，引导学生经历数学概念的主动建构过程，培养学生严谨的数学思维能力和追求完美的价值观。

师：图4中，能用a和b表示CD的长度和半径吗？

生4：（思考）由条件可得到△ACD∽△DCB，所以 = ，这样可得CD= ，半径为 .

师：能通过该图对基本不等式作几何证明吗？

生4：显然CD小于或等于圆的半径，即 ≤ .

师：非常棒！

3.数学建构。基本不等式：若a，b是正数，那么 ≤ （当且仅当a=b时，取等号）（板书）

师：我们常把 叫做两正数a，b的算术平均数，把 称为两正数a，b的几何平均数，在利用基本不等式求最值时，一般是若积为定值，则和有最小值；若和为定值，则积有最大值。因为最值必须左右两边取等号，所以还要考虑是否能取到等号的条件，我们可把基本不等式运用的条件归纳为：“一正、二定、三相等”。（板书）

4.知识应用。

例1：若x>0，当x取什么值時，x+ 的值最小？最小值是多少？

设计意图：答题的格式和解题规范表述，将解题教学落到实处。

变式1：若x<0，当x取什么值时，x+ 的值最大？最大值是多少？

变式2：若x>1，当x取什么值时，x+ 的值最小？最小值是多少？

变式3：若x≥2，当x取什么值时，x+ 的值最小？最小值是多少？

设计意图：通过对例1的三种变式，一方面对新知的学习起到检测作用，另一方面加深学生对基本不等式的理解。

例2：已知x>3，求函数y= +x的最小值。

设计意图：通过对例2的讲解，使学生知道除了利用函数的性质求最值外，还可以利用基本不等式求解，加深学生对基本不等式的理解。

例3：设x，y满足x+y=4，且x，y都是正数，则xy的最大值是多少？

设计意图：加深学生对基本不等式的理解。

5.巩固拓展。（1）若0

6.归纳小结。①基本不等式中， 是两正数a，b的算术平均数， 两正数a，b的几何平均数；②基本不等式的适用条件“一正、二定、三相等”；③基本不等式既是求函数最值的基本工具，又是证明一些不等式的重要工具。

7.课后作业。课本习题3.4A组第1题；第2题；第3题。

二、教学反思

1.对教学立意的反思。提高课堂教学的“立意”，提高课堂教学的思想性，过程与结果并重，当前形勢下就要加强过程性教学。因此，在新课程理念下，我们在注重定理、公式应用的同时，还要重视它的形成过程，要让学生有思维和行动的参与，同时还要关注数学的文化价值，只有吸引到学生的注意力，我们的课堂才有生命力。

2.对知识生成的反思。按照现代认知心理学的理解，陈述性知识应该是贯穿数学课堂教学的主线。本节课的陈述性知识是基本不等式，包括基本不等式的符号表征、图形表征及其简单应用。为了对基本不等式的理解，我从学生熟悉的“风车”（问题1）出发，为基本不等式的引入埋下伏笔，接着通过对问题2至问题5的分析，引导学生步步深入，使复杂问题简单化、简单问题具体化、具体问题数学化及其命题的优化等一系列的思维活动，引导学生层层递进，逐渐感知基本不等式；还从“形”的角度，加深理解基本不等式，在核心命题的教学上“不惜时，不惜力”，使学生逐步生成理解、逐渐接近问题的本质，提高了课堂教学效率。

3.对学生认知的反思。新课程标准中指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有经验基础之上。根据这一教学理念设计教学过程，使每位学生主动投入到适合自己最近发展区的学习中去。这样才能激发学生的学习积极性。本节课设计了科学有效的“问题链”，培养学生的问题意识。好的问题链设计能让学生主动探索，激励学生主动认知。笔者在情境创设（问题1）、探究升华（问题2和3）、数学建构等每个环节精心设计的问题，都能让学生积极思考、踊跃回答，进而完成知识的内化，让学生在命题的产生、形成和发展过程中，进一步体悟其中蕴含的数学思想和学习方法。

4.不足之处。不足之处在于讲解例2时，由于时间关系，直接利用基本不等式求函数的最小值，缺少了学生的参与，有点突兀，如果能利用函数的性质，渗透数形结合，方程的思想，那么思路会拓展的更宽。其次本节课容量较大，虽然是根据本班来设计的，但留给学生思考的时间还应该更宽松一点。

参考文献：

[1]人民教育出版社数学室编著.普通高中课程标准实验教科书·数学必修5.A版[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]尚强，胡炳生.数学的灵魂——数学精神[J].中学数学教学参考，2012，（6）.

[3]孟胜奇.凸显数学思维，追求教育本真——“几何概型”教学实录与反思[J].中学数学教育，2013，（3）.