刘清源

波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须将同一个量以两种不同的方法表示出来”，即将一个量“算两次”，由此建立相等关系列出方程，它是从不同的角度考察问题，体现了转化及方程的思想。

“算两次”是一种重要的数学方法，她贯穿了我们对数学的学习过程，从小学的减法运算完后用加法运算检验其结果，除法运算完后用乘法运算检验其结果；为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，等等都属于“算两次”。不仅计算题、求解题需要这样做，在证明中，用两种方法计算同一个量，更是一种行之有效的基本方法。可见“算两次”在数学解题中有广泛的应用，本文专门探讨利用“算两次”解决高中阶段出现的一些问题问题。

一、“算两次”在与导数相关切线方程中的应用

“算两次”在导数中的应用主要体现在切线方程，它的应用基础是一个量的两种表示。在切线方程方面，能够通过两种表示的有两个量：切线斜率 和切点（x0，f（x0））。

通过学习我们都知道，导数的几何意义即函数y=f（x）在x0处的导数f/（x0）为相应切线方程的斜率k。如果我们知道函数在在x0处的切线或者与切线平行或垂直的直线我们就可以知道 ，通过这两方面都能求出。当然在这中间还有一个共同的量——切点，它是切线与曲线的交点，能够起到沟通的作用。我们不妨通过下面一道题来说明这个问题：

例1：设直线y=x+b是曲线y=lnx的一条切线，则实数b的值为？

分析：我们不妨设切点为（x0，f（x0））（1）通过题意我们由切线y=x+b可知切线的斜率为k=1（2）再由函数y=lnx可得k=1/x0

通过上面的形式我们对k “算两次”可得x0= 1

（1）由于切点为曲线上的点，可知切点为（1，0）（2）切点也在切线上，

通过上述形式我们对于切点“算两次”，可得1+b=0则b=-1。

结合上述问题我们不难发现，我们对切线的斜率和切点进行了算两次，基于这类题目我们不妨看下列这些相似的问题：

变式1：设曲线y=eax在x=0处的切线于x+2y+1=0垂直，求a

变式2：曲线y=x3+x-2在P点的切线平行于y=4x-1，求P点坐标。

分析：结合上述问题我们不难你发现变式1：通过算两次k即可求出a；

而变式2：由题意我们可以通过算两次k，先求出切点P的横坐标，再代入曲线求出点P。

二、“算两次”在平面向量中的应用

我们通过平面向量基本定理的学习可知：在平面内，如果a，b是不共线的两个向量那么存在唯一的一个实数对（m，n）使得c=ma+nb成立。如果还存在一对实数（k，l）满足题意，只能是m=k，n=l。结合上述结论，我们来看看与重心相关的中线被重心分成2：1的推理过程：已知三角形ABC中，AL、BM、CN分别为对应边的中线，它们交于G点，如图所示，求证：AG=2GL

证明：设AB边上的中线为CN，AC边上的中线为BM，其交点为G，边BC的中点为L，连接AG和GL，因为B、G、M三点共线所以，存在实数m，使得 ，即可得

同理，存在实数n，使得

又因为 不共线，所以 和 解得

即 ，又因为 可知 即得证。

我们不难发现“算两次”在平面向量中的应用主要体现在通过两种方式转化在相同一组基底情况下的分解是唯一的，进而得到对应的系数相等，即可得到所要结论。

三、“算两次”在立体几何中的应用

“算两次”在立体几何中的引用主要体现在等体积变换等方面，通过翻转变换底面实现锥体体积的两种计算途径。利用其中较易于算出高的锥体形式，求出几何体的体积，当然可以进一步转化为求点到面的距离。我们来看这样一个问题：

例2：如图5甲，四边形ABCD中，E是BC的中点，DB =2， DC=1，BC= ，AB =AD= .将（图甲）沿直线BD折起，使二面角A-BD-C为60o（如图）.

（1）求证：AE⊥平面BDC； （2）求点B到平面ACD的距离.

分析（1）证明略（2）由于题目要求解点B到平面ACD的距离，我们可以采用等体积法对三棱锥A-BCD的体积算两次，即 ，而B到平面ACD的距离即为三棱锥B-ACD底面ACD上的高 ，而由（1）可知三棱锥A-BCD底面BCD的高为已知即为AE，所以h= /7

通过上述的问题我们不难发现“算两次”应用在几何体的等体积上主要体现在高的寻求上，换底面的最终目的是使得高较为明显或者已知，同样在求点到面的距离是可以省却了辅助线的添加，进行抽象的思考，有助于学生思维能力的养成。

最后，结合上述问题我们可以发现“算两次”，其实是对于一个问题，由两个角度的切入，通过不同途径，并最终达成一致的结果，在这个过程中引入变量并最终解决变量的方法。正应了这样一句诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”。我们观察事物，如果所处的立场不同，观察到的结果也会不同。如果从某一角度用某种方法难以奏效，不妨换一个角度去观察，换一种方法去处理便有可能“迎刃而解”。

【参考文献】

[1]付秀凤 《高中数学解题中“算两次”思想方法的应用探析》发表于《数学学习与研究》2015年13期

[2]陈祖灵 《“算两次”的思想方法及其在高中数学解题中的应用》《理科考试研究：高中版》2013年 第7期 |