陈静

二项式定理研究的是一种特殊的多项式——二项式乘方的展开式，是培养观察、归纳能力的好题材. 二项式定理是以公式形式表现二项式的正整数幂的展开式在指数、项数、系数等方面内在联系的重要定理，集中体现了二项式展开式中的指数、项数、系数的变化. 它是求展开式的某些项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）以及系数的重要公式.

二项式定理在高考中每年一道题，试题难度不大，与教材习题相当. 因此，学习时要重视基础，熟练掌握二项式定理的展开式、通项公式、二项式系数的性质等原理，不必追求难解题.

系数问题

例1 [（xy-yx）4]的展开式中的[x3y3]的系数为________.

解析 方法1：[（xy-yx）4=xy（x-y）4]

[=x2y2（x-y）4，]

故只需求出[x-y4]的展开式中含[xy]的项的系数.

易知所求为[C24?（-1）2=6].

方法2：[Tr+1=Cr4?（xy）4-r?（-yx）r]

[=（-1）r?x4-r?y4-r2?yr?xr2=（-1）r?Cr4?x4-r2?y2+r2.]

依题意得，令[4-r2=3]且[2+r2=3]，解得，[r=2].

所以展开式中的[x3y3]的系数为[C24?（-1）2=6].

点拨 先化简后计算是解答某些数学问题的基本策略，方法1通过对底式进行因式分解化简使得问题简单化，方法2则是直接套用展开式的通项公式. 若对二项式展开式的性质有更深入的理解，结合有关字母次数的对称性也可直接得出展开式中[x3y3]的系数为[C24（-1）2=6].

例2 二项式[（3x3+1x）n]的展开式的各项系数的和为[p]，所有二项式系数的和为[s]，若[p+s=272]，则[n]等于多少？

解析 若[（3x3+1x）n=a0+a1x+a2x2+???+anxn]，

则[p=a0+a1+???+an]，[s=C0n+…+Cnn=2n].

令[x=1]得，[p=4n].

又[p+s=272]，

即[4n+2n=272?（2n+17）（2n-16）=0]，

解得，[2n=16或2n=-17（舍去）].

[∴n=4].

点拨 要正确区分各项系数与各二项式系数的概念，并知道如何求解. 二项式系数的和为[C0n+C1n+C2n][+…+Crn+…+Cnn=2n]，各项系数和只需令各个字母的值为1即可.

例3 对于任意实数[x]有[x3=a0+a1（x-2）][+a2（x-2）2][+a3（x-2）3]，则[a2=____].

解析 方法1：换元法……