黄希

不放回地取球问题

例1 盒子里面放有大小形状相同的[a]个白球、[b]个黑球，从中依次不放回地任意取出[k]个球，求：

（1）第[k]次取出的恰好为白球的概率；

（2）第[r]次取出的为白球且第[k]次取出的为黑球的概率[r

分析 （1）设想将球编号，一个一个不放回地取出，直到第[k]次取到白球为止，则基本事件总数就是从[a+b]个编号的球中选出[k]个球进行排列，即[Aka+b]. 要使[A]发生，只需要从[a]个白球中选出一个放在第[k]个位置上. 作为第[k]次取出来的球，前面的[k-1]个位置可以任意放余下的球，因此[A]事件包含[A1a?Ak-1a+b-1]个基本事件.

（2）同（1），基本事件总数就是从[a+b]个编号的球中选出[k]个球进行排列. [B]事件要求是：第[r]个球是白球，有[A1a]种排法；第[k]个球是黑球，有[A1b]种排法；剩余位置可以从剩余的球中选取[k-2]个来排列. 因此[B]事件包含[A1a?A1b?Ak-2a+b-2]个基本事件.

解 （1）设第[k]次取出白球的事件为[A]，

则所求概率为[P（A）=A1a?Ak-1a+b-1Aka+b=aa+b].

（2）设第[r]次取出白球且第[k]次取出黑球的事件为[B]，则所求概率为[P（B）=A1a?A1b?Ak-2a+b-2Aka+b=ab（a+b）（a+b-1）.]

例2 一个袋子中装有大小形状完全相同的[a]个白球、[b]个黑球，从袋子中随机取出[n]个球，求：

（1）取出的球中恰有[k]个白球的概率；

（2）假设袋中另有[c]个红球，取出的[n]个球中恰有[t]个白球，[m]个黑球的概率，其中[1≤t+m≤a+b].

分析 在这一模型中，摸球的最终结果，与取出球的数量有关，而与球的排列顺序无关.

（1）从[a+b]个球中不计顺序地取出[n]个球，所有的可能有[Cna+b]种. 在取出的[n]个球中恰有[k]个白球，这[k]个白球从[a]个白球中取，剩下的[n-k]个球只能是从[b]个黑球中取出的，所以事件[A]有[Cka?Cn-kb]种取法.

（2）从[a+b+c]个球中取出[n]个球，则所有可能取法有……