陈静 王书爽

离心率问题

例1 已知[F1，F2]是双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的左、右焦点，若双曲线的左支上存在一点[P]与点[F2]关于直线[y=bax]对称，则该双曲线的离心率为（ ）

A. [52] B. [5]

C. [2] D. [2]

解析 由条件及图形分析得，

在[△PF1F2中，F1F2=2c，PF2=2b，PF1=2a].

由双曲线定义得，[2b-2a=2a]，

则[b=2a]. 故[e=1+（ba）2=5].

答案 B

点拨 此类题中有一些几何条件直接代数化比较复杂，故要数形结合，优先从几何角度分析转化条件. 比如例1中，点[P]与[F2]关于直线[y=bax]对称，可转化为直线[y=bax]的垂直平分线段[PF2]，进而得到[PF2=2b，][PF1=2a].

例2 [A1，A2，B1，B2]为椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的四个顶点，[F]为其右焦点，直线[A1B2]与直线[B1F]相交于点[T]，线段[OT]与椭圆的交点[M]恰好为线段[OT]的中点，则该椭圆的离心率为 .

解析 由题意知，直线[A1B2]的方程为[y=bax+b]，直线[B1F]的方程为[y=bcx+b.]

联立[y=bax+b，y=bcx+b]解得，[T]的坐标为[（2aca-c，b（a+c）a-c）].

则[M]的坐标为[（aca-c，b（a+c）2（a-c））].

则[（aca-c）2a2+[b（a+c）2（a-c）]2b2=1].

化简得，[c2+10ac-3a2=0]，即[e2+10e-3=0]，

解得，[e=-5+27].

点拨 此类求离心率问题中，若不能从几何角度转化和运用条件，则适合从坐标的角度直接转化为参数[a，b，c]的关系求解.

例3 已知椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，若椭圆上存在点[P]使得[asin∠PF1F2=csin∠PF2F1]，则离心率的范围为 .

解析 由条件有，[sin∠PF2F1sin∠PF1F2=ca].

又由正弦定理有，[sin∠PF2F1sin∠PF1F2=PF1PF2]，

则[PF1PF2=ca].

由椭圆定义有，[PF1+PF2=2a].

联立得，[PF1=2aca+c].

由椭圆的性质得，[a-c

即[a-c<2aca+c

变形得，[e>2-1.]

又[e<1]，故[2-1

点拨 此类题所给条件与所求联系不明显，要善于挖掘隐含条件，学会整合转化条件，逐渐将条件和所研究的问题联系起来. 如本题中，先用正弦定理将角化为边，得到焦半径与[a，c]的关系；再利用椭圆的定义及性质将条件转化为只含[a，c]的关系式，从而得到离心率的范围.

轨迹问题

例4 已知圆的方程[x2+y2=4]，若抛物线过点[A（0，-1），B（0，1）]，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点[F]的轨迹方程是（ ）

A. [x23+y24=1（y≠0）] B. [x24+y23=1（y≠0）]

C. [x23+y24=1（x≠0）] D. [x24+y23=1（x≠0）]

解析 由抛物线的定义有，[AF=d1，BF=d2（d1，d2]分别为[A，B]到准线的距离）.

由图……