郑婷

在初中数学阶段，学生必然要经历常量数学到变量数学的思维过程.函数还联系了方程，不等式等一些相关知识，锻炼了学生的数学化能力.在此，笔者通过分析苏科版八年级（下）第十一章《反比例函数》的教材背景，结合教学实际谈一谈如何有效性设计反比例函数的教学过程.

一、苏科版八年级（下）第十一章《反比例函数》的教学背景的分析

1.教材分析

本章内容属于《数学课程标准》中的“数与代数”领域，有了一次函数和平面直角坐标系的知识做铺垫，反比例函数让学生进一步认识并且理解函数的深刻内涵，体会数学来源于生活又服务于生活.反比例函数也是最基本的函数之一，是以后学习其余函数的基础.

2.学情分析

函数知识对学生而言是抽象的，在八年级（上）学函数之前学生一直接触的都是常量的知识.由常量学习变为变量学习时，学生的认知上会出现理解上的障碍.对于反比例函数而言，八年级学生是初次接触双曲线这种函数图象，对函数的意义的理解、数量变化规律的把握还有一定的难度.当学生学完反比例函数的概念后，应该引导他们抓住反比例函数图象的特征，让学生对反比例函数有一个形象而又直观的认识，进而深层次地理解反比例函数.

二、《11.1反比例函数》教学设计

【教学目标】

1.使学生理解并掌握反比例函数的概念，能用待定系数法求函数解析式；

2.经历在实际问题中探索数量关系的过程，体会函数的建模思想；

3.提高学生学习数学的兴趣，通过分组讨论，培养学生合作意识和探索精神.

【教学重难点】理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式.

【教学过程】

知识回顾：

师：在小学里，我们已经知道如果两个量的乘积一定，那么这两个量成反比例.当路程s一定时，时间t与速度v成反比例关系.那成反比例的两个量之间的关系，怎样用函数表达式来描述呢？

【设计意图】反比例函数所揭示的是两个变量之间的反比例关系，所以从学生已有的小学反比例知识出发引入本节内容，体现了小学与初中两个学段的知识的衔接和密切联系.

二、创设情境

一辆列车从南京出发开往上海，以速度v （km/h）行驶，行驶时间为t （h），行驶路程为s （km）.（1）若速度v=160 （km/h），行驶路程s （km）与行驶时间为t （h）之间的关系式为.（2）若列车已经行驶了80 km，继续以v=150 （km/h）的速度行驶t （h），行驶总路程s （km）与时间t （h）之间的关系式为.（3）若南京到上海总路程约301 km，行驶时间t （h）与行驶速度v （h）的关系式为.

生：分别列出三个关系式s=160t、 s=80+150t、 vt=301.

师：有我们熟悉的函数关系式吗？

生：s=160t是正比例函数， s=80+150t是一次函数.

师：请回忆一下什么是函数？

生：如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数.

【设计意图】反比例函数是继正比例函数和一次函数后学生学习的一种新的函数关系，设置学生熟悉的生活情境有助于引导学生回顾反比例关系和函数的概念，为接下来要引入的反比例函数关系打下基础，也符合学生的认知规律，初步激发了学生探索新知的兴趣和欲望.

三、探索新知

活动一体验新的函数

问题1根据情境中（3）的t与v的关系式，填写表1：

表1v608090100120t（1）随着速度的变化，全程所用时间怎么变化？（2）时间t是速度v的函数吗？这是什么函数呢？

师：这个情境中在同一变化过程有两个相互依存的变量是速度v和时间t，当v不断变化时，都会产生唯一的一个t的值与它相对应，因此t是速度v的函数.但是这样的函数还没有学过.

【设计意图】通过设计这样两个问题给学生，激发了学生思考情境（3）中的关系式是否也是函数，构建了函数意识，让学生自主地联系函数概念，自发地想要认识新的函数.这也符合学生最近发展区的认知规律，可以最大限度地激发学生的学习兴趣，提高学生思考问题的主动性和解决问题的能力，让学生体会到生活处处皆数学，生活处处有函数.

活动二归纳概念

问题2用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系.

（1）修建一条长为500 km的高速公路，完成该项目的天数y（天）随日完成量x （km）的变化而变化；（2）一家银行为某社会福利厂提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y（万元）随还款年限x（年）的变化而变化；（3）游泳池的容积为5000 m3，注满水池所需时间t （h）随注水速度v （m3/h）的变化而变化；（4）实数m与n的积为-200，m随n的变化而变化.

问题3（1）请观察这些表达式，它们有哪些共同的特点呢？（2）你能类比一次函数的定义，给反比例函数下个定义吗？

生：xy=500，xy=20，vt=5000，mn=-200，从表达形式来看，有两个变量一个常量，都是两个变量的乘积形式，并且积为常量.

师：请回顾一下我们如何定义一次函数.

生：一般地，形如y=kx+b（k为常数，且k≠0）的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数.当b=0时，y=kx（k为常数，且k≠0）称为正比函数.

师：你能类比一次函数的定义，给反比例函数下个定义吗？

师生：一般地，形如y=kx （k为常数，且 k≠0）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y 是x的函数.

【设计意图】通过问题2设置四个实际问题的求解过程，让学生了解到生活中存在着丰富的具有反比例关系的事例，从而意识到学习反比函数有非常重要的现实意义.运用类比思维方式让学生自己归纳定义，再一次使学生感受函数研究方法的一般性，使学生对反比例函数的表象认识上升到本质的认识，从而深刻理解反比例函数的概念，为后续运用概念解决问题提供扎实的理论基础.在这一过程中学生可以通过观察、比较、归纳等学习活动，形成结论.这是学生主动参与学习的过程，提高了学生的参与度，发挥了自由度，变被动学为主动学.

活动三反比例函数的三种表示方式

问题4反比例函数的表达式也可以写成；反比例函数的自变量x的取值范围是.

生：可以写成乘积的形式，如xy=k（k为常数，且k≠0）.

师：我们学过负指数幂，1x=x-1，还可以写成y=kx-1 （k为常数，且 k≠0），所以反比例函数有三种表达形式.

师：一次函数和正比例函数的自变量为任意实数，那反比例函数的自变量的取值是否有要求？

生：自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.

【设计意图】从不同的问题情境中抽象出具有相同特征的数学模型，再抽象得出概念的过程，并非教师所强加，而是学生通过自己分析得出概念，突破难点，使学生的自豪感和成功感在活动中得以提升，体现类比、转化、建模等数学思想，把本节课推向高潮.

四、运用新知，体验成功

例1下列关系中y是x的反比例函数吗？如果是，写成y=kx的形式，并指出比例系数k的值.（1）xy+2=0；（2）y=-32x；（3）y=23x；（4）y=3x-1.

【设计意图】通过辨析反比例函数，巩固概念，可以让大部分学生都体验到成功的喜悦.几种表达式的归纳转化是对知识的提炼，便于学生熟练地掌握三种表达形式.

例2写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断它们是否为反比例函数.

（1）面积是50 cm2的矩形，一边长y （cm）随另一边长x （cm）的变化而变化.

（2）体积是100 cm3的圆锥，高h （cm）随底面面积S （cm2）的变化而变化.

（3）江苏省的总面积为1.026×105 km2，人均占有土地面积S（km2/人）随全省总人口n（人）的变化而变化.

（4）妈妈买菜已经用了25（元），还想买5元/斤的鱼a斤，则总的花费y（元）随着所购买的斤数a（斤）的变化而变化.

【设计意图】让学生进一步感受反比例函数是一类反映现实世界特定数量关系的数学模型.学生利用生活经验与刚刚形成的对反比例函数的认识，通过举例、说理、交流达到内化、升华、巩固反比例函数的意义，感受反比例函数与一次函数、正比例函数的区别与联系，理解反比例函数概念，渗透函数建模的数学思想.

例3已知y-3与x+2 成反比例， x=2时，y=7，求（1）y与x的函数关系式；（2）求y=5时，x的值.

【设计意图】和函数表达式相关的内容是利用待定系数法求出k的值，再根据求出的表达式，得出自变量或因变量的值.通过这样的练习可以初步培养学生运用知识的能力.

五、练习巩固

1.已知函数y=（a+1）x|a|-2是反比例函数，则a的值为.

2.若y与x成反比例，且x=-3时，y=7，则y与x的函数关系式是.

【设计意图】初步培养学生综合运用知识的能力，这些是具有弹性又能发展学生思维的题，可让不同层次的学生学有所获并使他们的能力得到提升.

六、课堂小结

通过本节课的学习，你最大的收获是什么？你最大的疑惑是什么？

【设计意图】在独立思考和合作交流中引导学生梳理本节课在知识和数学思想方法方面的收获，在总结的同时让学生体验收获知识的快乐.

七、拓展延伸

回顾：一次函数是从哪几个方面进行研究的？

类比：类比一次函数的研究，我们也将从这几个方面对反比例函数进行研究.

猜想：以后研究函数基本从哪几方面去研究？

【设计意图】为后面反比例函数的图象和性质的研究埋下伏笔.

八、教学反思

1.注意做好与已学内容的衔接

反比例函数的教学，一方面要以前面所学的函数概念及相关知识为基础，另一方面可以反过来进一步深化对函数内涵的理解和掌握.

学生对与函数相关的概念不可避免会有所遗忘或生疏.因此，学习好本节的关键是处理好新旧知识的联系，尽可能地减少学生接受新知识的困难.在引进反比例函数概念时，要适时复习第6章中的函数、自变量、函数值、正比例函数、一次函数等相关知识，为反比例函数的学习做好铺垫.这样，学生就能够比较顺利地接受和掌握反比例函数的概念以及后续的性质.

2.从概念上加强反比例函数与正比例函数的对比

两种函数的解析式的相同点是：自变量只有一个；不同点是：自变量在解析式中的位置不同，正比例函数的解析式的右边是一个整式，不为0的常数是自变量的系数，而反比例函数的解析式的右边是一个分式，自变量处在分母的位置，不为0的常数处在分子的位置.教者应该注意鼓励学生积极探究，尽可能激发学生的数学思维和兴趣.那么相对而言，学生对所学内容的掌握也就更牢固.

3.紧扣函数、数形结合等一些思想方法，深入理解函数的内涵

对于一个具体的反比例函数来说，它有其自身的独特性质，其中蕴涵的变化与对应的数学思想是具有普遍性的.在教学时，尤其要注意在这种数学思想的渗透方面下功夫.

通过对图象的研究和分析可以确定函数本身的性质，这体现的是数形结合的数学思想方法，数形结合思想是数学中最重要的思想之一.而数形结合的思想早在学习数轴、平面直角坐标系时就已经学习到了，学生并不陌生.结合本章内容可以进一步对数形结合的思想方法顺其自然地理解，并逐步加以灵活运用，发挥从数和形两个方面共同分析解决问题的优势.