杨敏

依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类讨论思想.所谓分类思想，就是将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解；当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别剖析，得出每一类的结论，最后综合各类所得结果得到整个问题的解答.所谓分类讨论就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的过程.

事实证明，分类的优劣不仅决定着解法的简繁，而且直接影响解题的成败.不同的分类， 解题过程的简繁也是不一样的，它取决于分类的标准.分类讨论一般分为四步：第一，明确讨论的对象，即对那个参数进行讨论；第二，对所讨论的对象进行合理分类，分类时做到不重复，不遗漏，标准要统一，分层不越级；第三，逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决；第四，归纳总结，将各类情况总结归纳.

显然，明确分类讨论的原因，将有利于运用分类讨论的思想方法来解决问题.笔者经过长期的教学实践将分类讨论的主要原因初步归类为以下五个方面：（1）由数学概念引起的分类讨论；（2）由数学运算引起的分类讨论；（3）由定理，公式的限制引起的分类讨论；（4）由图形的不确定性引起的分类讨论.下面通过具体的实例说明分类讨论在解题中的运用.

一、概念引起分类讨论

有些数学概念本身就是以分类形式定义的，有些数学概念自身就有一定的限制，解题就是以所定义的概念为依据来进行分类讨论，下面略举几种情况.

1.根据绝对值定义去掉绝对值符号时，分情况讨论：

例1若|m-n|=n-m，且|m|=4，|n|=3，则（m+n）2=.

解析因为|m|=4，|n|=3，所以m=±4，n=±3.又因为|m-n|=n-m，所以n-m≥0，n≥m.当n=3时，m可能取的值为-4，结果为1；当n=-3时，m可能取值为-4，则结果为49，所以（m+n）2=49或1.

例2已知直线y=3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积为6，则此直线解析式为.

解由题意得：点A坐标为（-b3，0），点B为（0，b）.

所以12OA·OB=6，

即12|-b3|·|b|=6，

所以|b2|=36，b=±6.

所以此直线解析式为y=3x-6或y=3x+6.

评注绝对值概念是一个需要分类讨论的概念，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误.当遇到函数问题时，首先要考虑到应用数形结合思想，其次对绝对值问题要考虑到分类讨论.

二、运算引起的分类讨论

例3已知等腰三角形的一内角为70°，求其余两个内角.

分析已知等腰三角形的一个内（外）角（未指明顶角还是底角的情况下），应分两种情况进行讨论.

解（1）当顶角为70°时；其余两角为55°，55°；

（2）当底角为70°时，其余两角为70°，40°；

所以该等腰三角形其余两角为55°，55°或70°，40°.

例4若关于x的分式方程x-ax-1-3x=1无解，则a=.

简解去分母得x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），

整理得（a+2）x=3.

（1）当a+2=0，即a=-2时，新方程无解，那么原方程也一定无解.

（2）当a≠-2时，得x=3a+2.此解为原方程增根时，原方程也无解.

①当x=3a+2=0时，a值不存在；

②当x=3a+2=1时，得a=1.

综上所述，当原方程无解时，a的值为-2或1.

应注意的是：一道题目是否需要讨论，什么时候讨论，并不是看题目中是否含有参数，而是看它是否影响继续解题.有些题目一开始就要进行分类讨论，有些题目则是在解题过程中进行讨论，甚至可以回避讨论.

三、定理、公式引起的分类讨论

数学中的一些公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情形未必成立.这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论.常见的个别情形有：

“方程ax2+bx+c=0有实数解”转化为Δ=b2-4ac≥0时忽略了个别情形：当a=0时，方程有解不能用Δ≥0.因而二次项系数含字母时，常按字母系数是0和不是0两种情况讨论.

例5如果关于x的方程k2x2-（2k+1）x+1=0有实数根，那么k的取值范围是

A.k>-14B.k>-14且k≠0

C.k<-14D.k≥-14且k≠0

评注由于x的方程没有明确是一元二次方程，还是一元一次方程，这就需要分类讨论，恰恰学生由于思维定势，习惯上把它看作一元二次方程而致错.

四、由图形的不确定性引起的分类讨论

如平面几何中线与线、线与面、面与面的位置关系均有多种可能，研究各元素间的位置关系时，要注意每一个位置关系都不可遗漏，对于多种可能的情况必须分开来进行研究.

例6已知点P到⊙O的最大距离为8，最小距离为2，则⊙O的半径为.

分析本题没给出图形，点P可能⊙O在外，也可能在⊙O内，所以必须进行分类讨论.

如图2点P在⊙O外，半径为3，如图3点P在⊙O内，半径为5.

评注在没有几何图形的题目中，要利用分类的思想方法，正确画出各种可能的图形，逐一进行详细的解答.涉及点、线关系时，往往分和点在直线上和点在直线外两种情况讨论.

分类讨论的过程是同中求异和异中求同两种思维方式的有机结合，要抓住问题涉及对象的不同点，分为既不重复又不遗漏的几类，分别讨论，是同中求异的过程；然后将各类情况的共同特征加以综合，得出结论，这是异中求同的过程.通过分类讨论思想在初中数学中的应用，我们今后在解决数学问题时，当条件或结论不明确，当图形不确定，当题目中含有参数或隐含条件等等都应分类讨论.这种讨论一方面可以将复杂的问题分成若干个简单的问题（即“化整为零”），另一方面可避免漏解、误解、错解（即“各个击破”），从而使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答.这不仅有利于提高学生对学好数学的兴趣和解题技能，同时也是培养学生思维品质的条理性、缜密性、科学性的有效途径.

课堂教学是实施素质教育的主阵地，常言道“授之以鱼，不如授之以渔”.实践证明，把某种数学思想方法（知识形态的）象知识一样传授给学生，再通过学生的思维过程来理解它，检验它，丰富它，运用它，发展形成为认识形态的观念，直至上升为理性的哲学观念，才能使学生受益终生.