王中学

圆锥曲线优美、和谐，尤其是椭圆。它有许多内涵丰富，应用广泛的几何性质，吸引着数学爱好者乐此不疲地去研究它、发掘它、拓展它[1]。本文主要是研究椭圆中的一些定值，定性问题。

结论一：

已知椭圆x2[]a2+y2[]b2=1（a>b>0），右焦点F为（c，0），过点F的直线交椭圆于点A、B.

若AF=mFB（m>1），且直线l的倾斜角为a（0

证明：易知椭圆的右准线l1：x=a2[]c，作BB1⊥l1，AA1⊥l1，垂足分别为B1、A1，再作BD⊥AA1交AA1于点D.

由椭圆的定义得：|BF|[]|BB1|=e，|AF|[]|AA1|=e.

∴|AD|=|AA1|-|BB1|=1[]e（|AF|-|BF|）=m-1[]e|BF|

又|AB|=|AF|+|BF|=（m+1）|BF|

∴cosa=cos∠BAD=|AD|[]|AB|=1[]e m-1[]m+1即e cosa=m-1[]m+1.

例1：（2010全国Ⅱ，理）已知椭圆C：x2[]a2+y2[]b2=1（a>b>0）的离心率为3[]2，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A、B两点，若AF=3FB，则k等于（）A.1B.2C.3D. 2

解答：B.由结论1可知e cosa=m-1[]m+1，又m=3，e=3[]2，∴3[]2 cosa=3-1[]3+1=1[]2，∴cosa=3[]3，又k=tana=2.

结论二：

已知椭圆x2[]a2+y2[]b2=1（a>b>0），A、B为椭圆上相异的两点，且OA⊥OB，若圆o：x2+y2=r2与直线AB相切，则r=a2b2[]a2+b2.

证明：①当直线AB斜率不存在时，则直线AB的方程为：x=m.

设A（x1，y1），B（x2，y2）.由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0

∴x1=x2=m，y1=-y2=m.

又点A在椭圆上，

∴m2[]a2+m2[]b2=1m2=a2b2[]a2+b2=r2

②当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为：y=kx+m

即kx-y+m=0.则r=|m|[]1+k2r2=m2[]1+k2

又y=kx+mx2[]a2+y2[]b2=1（b2+a2k2）x2+2mka2x+a2m2-a2b2=0

设A（x1，y1），B（x2，y2）.∴x1+x2=-2mka2[]b2+a2k2，x1x2=a2m2-a2b2[]b2+a2k2.

由OA⊥OB⊥得x1x2+y1y2=0∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0

即（1+k2）x1x2+mk（x1+x2）+m2=0

将x1+x2=-2mka2[]b2+a2k2，x1x2=a2m2-a2b2[]b2+a2k2 代入上式并化简得：

（a2+b2）m2=a2b2（1+k2）m2[]1+k2=a2b2[]a2+b2=r2

综上，r2=a2b2[]a2+b2即r=a2b2[]a2+b2.

例2.（2009山东卷理）

设椭圆E：x2[]a2+y2[]b2=1（a>b>0）过M（2，2），N（6，1）两点，O为坐标原点。

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。

解：（1）因为椭圆E：x2[]a2+y2[]b2=1（a>b>0）过M（22），N（6，1） 两点，

所以4[]a2+2[]b2=16[]a2+1[]b2=1解得1[]a2=1[]81[]b2=1[]4所以a2=8b2=4

∴椭圆E的方程为x2[]8+y2[]4=1。

（2）由上述结论可知该圆存在，且圆的方程为：x2+y2=8[]3。|AB|的取值范围省略。

结论三：

已知椭圆x2[]a2+y2[]b2=1（a>b>0），直线l：x=m（-a

证明：由题意可设直线l1的方程为：

y-n=k（x-m）k≠0.

则直线l2的方程为：y-n=-k（x-m）

∴y-n=k（x-m）x2[]a2+y2[]b2=1

（b2+a2k2）x2-（2mk2a2-2a2nk）x+a2（m2k2-2nmk+n2-b2）=0

设P（xp，yp），Q（xQ，yQ）

∴xp+m=2mk2a2-2a2nk[]b2+a2k2

∴xp=mk2a2-2a2nk-b2m[]b2+a2k2，yp=n+k（xp-m）

同理：xQ=mk2a2+2a2nk-b2m[]b2+a2k2，yQ=n-k（xQ-m）

∴kpQ=yp-yq[]xp-xQ=k（xp+xQ）-2mk[]xp-xQ=2k（a2k2m-b2m）[]b2+a2k2-2mk[]-4a2nk[]b2+a2k2

=2a2k2m-2b2m-2m（b2+a2k2）[]-4a2n=-4b2m[]-4a2n=b2m[]a2n

例3.（2009辽宁卷理）

已知，椭圆C过点A（1，3[]2），两个焦点为（-1，0），（1，0）。

（1）求椭圆C的方程；

（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

解：

（1）由题意，c=1，可设椭圆方程为1[]1+b2+9[]4b2=1，解得b2=3或b2=-3[]4（舍去）所以椭圆方程为x2[]4+y2[]3=1。

（2）由结论四可知，直线EF的斜率为定值且斜率kEF=b2m[]a2n=3[]4×2[]3=1[]2

从上述性质中可以发现，椭圆中的定值与椭圆的长轴和短轴有很密切的关系。本性质提出的是一般规律，但其证明过程较为繁琐，不易运用，在考试中可以以特例的形式出现，考查学生的探究能力。

参考文献：

[1]叶良志，卢琼圆锥曲线两两垂直焦点弦的一组性质.中学数学.高中版.2012.3.

[2]五年高考三年模拟.首都师范大学出版社.2011版.高考理数.椭圆的性质.