刘继成， 胡晓山（华中科技大学数学与统计学院，武汉430074）



独立随机变量乘积的分布

刘继成， 胡晓山
（华中科技大学数学与统计学院，武汉430074）

［摘 要］得到了两个独立的任意分布随机变量乘积的分布函数的计算公式，该公式推广了参考文献［1］中定理1的结果．

［关键词］分布函数；条件期望；Lebesgue－Stieltjes积分

1　问题的提出

文献［1］中的定理1给出了两个随机变量乘积的分布函数的计算公式，其中要求一个随机变量是连续型随机变量，另一个是任意的随机变量，并在注3中举例说明该公式不适用于两个都是任意随机变量的情形．本文对此问题给予正面的解答，得到任意两个独立随机变量乘积的分布函数公式，该结果适用于［1］中定理1不成立的情形．

2　预备知识

需要下面条件期望的性质．

性质1 设随机变量X和Y独立，则对任意Borel可测函数f（x，y），

另外，需要下面特殊情形下Lebesgue－Stieltjes积分的计算公式．

性质2 设α（x）绝对连续，β（x）关于α（x）在开区间I上Lebesgue－Stieltjes积分存在，则

性质3 设α（x）为跳跃函数且在xk的跳跃为αk，β（x）关于α（x）在开区间I上的Lebesgue－Stieltjes积分存在，则

3　主要结论

定理1 设随机变量X和Y的分布函数分别为F（x）和G（x），且X和Y相互独立，则Z＝XY的分布函数H（x）为

其中等式右端的积分理解为Lebesgue－Stieltjes积分．由F（x）和G（x）的对称性，易知H（x）也等于

证 由全概率公式及条件期望的性质1，有

下面讨论几种特殊情况作为特例，这些公式在实际中应用更为方便．

（i）若G（x）在x＝0处连续，则Z＝XY的分布函数为

若G（x）连续，因为F（x）的不连续点至多可列个，所以

因此

若G（x）绝对连续，且G′（x）＝g（x），则

更进一步，若F（x）也绝对连续，且F′（x）＝f（x），则……