戴中林（西华师范大学数学与信息学院，四川南充637002）



求一类非齐次微分方程特解的待定算子法

戴中林
（西华师范大学数学与信息学院，四川南充637002）

［摘 要］给出了求一类非齐次微分方程L（D）y＝f（x）特解的待定微分算子解法．即通过求与方程相关的待定微分算子R（D），从而得出非齐次微分方程的特解y＝R（D）f（x）．

［关键词］非齐次微分方程；特解；待定微分算子；解法

1　引 言

对于一般线性非齐次微分方程L（D）y＝f（x）特解的求法，有关教材上已有介绍，当f（x）仅为x的幂函数，指数函数，三角正弦或余弦函数时一般应用算子解法［1］或待定系数法［2］，亦可用文［3］或其他的方法［4－7］解决，但这些解法较为繁琐．下面介绍一种求非齐次微分方程特解的待定算子法．即不通过积分运算，也无需按一般教材上的算子解法去定义微分算子L（D）的逆算子1／L（D）以及相关的性质和定理，而仅用微分的方法即通过求与微分方程相关的待定微分算子R（D），即可得到非齐次微分方程的特解y＝R（D）f（x）．

非齐次微分方程一般形式为

其中各项系数p1，…，pn均为常数，f（x）仅为x的幂函数，指数函数，三角正弦或余弦函数等．则上述方程对应的微分算子方程为

若已知方程L（D）y＝0的特征方程有n个特征根λ1，…，λn（可为等根），则该方程可记为或简记为

下面仅研究微分方程（1）的特解的求法

2　主要结果

定理1 微分方程L（D）y＝f（x）有解y＝R（D）f（x）的充要条件是存在微分算子R（D），当L（D）f（x）≠0时，有下式成立

证 必要性．设微分方程（1）有解y＝R（D）f（x），其中R（D）是待定微分算子，代入方程（1）得

由微分算子乘积的可换性即得

其中L（D）f（x）≠0．

充分性……