朱 灿， 洪 丹（上海理工大学理学院，上海200093）



基于曲线导数的二元函数微分中值定理

朱 灿， 洪 丹
（上海理工大学理学院，上海200093）

［摘 要］给定二元函数，文献［1］定义了其在光滑曲线上的方向导数（简称为曲线导数）．本文主要利用曲线导数建立二元函数的微分中值定理，比如罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理．这些中值定理可视作一元函数微分中值定理在二维情形的推广．

［关键词］曲线导数；罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理

1　引 言

一元函数微分学是研究度量空间（ℝ，d）或其子空间上函数的分析性质．距离d是建立极限理论的前提，而一元函数微分学的基本工具是极限．传统上，二元函数微分学采取了另外的办法，即从偏导数的角度来建立微分学理论．但二者存在明显的区别．例如，一元函数的可微性和可导性等价，但二元函数的偏导数存在性无法刻画可微性．甚至在现在通用的数学分析教材［2－4］中都没有给出二元函数可微性的等价条件．文献［1］中提出了二元函数的曲线导数的概念，并且证明了可微性和曲线导数存在等价．本文试图用曲线导数来建立二元函数的微分中值定理．

2　曲线导数

定义［1］二元函数z＝f（x，y）在点P0的某邻域内有定义．设l是以P0为起点的光滑曲线，点P

为曲线l上任一点，P0到P的沿曲线l的弧长为．若极限

存在且有限，则称此极限为函数f（x，y）在点P0处沿曲线l的导数，简称为曲线导数，记作f′l（P0）或，其中指点P沿曲线l无限趋近于P0．

定理［1］函数z＝f（x，y）在……