杨 明 顺

(渭南师范学院 数理学院，陕西 渭南714099)



杨辉三角的若干性质研究

杨 明 顺

(渭南师范学院 数理学院，陕西 渭南714099)

摘要：杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列,通过初等方法及同余运算对杨辉三角中数的奇偶性进行进一步研究，得出杨辉三角中第a行的二项式系数中可被素数p整除的个数，第0行至第a行构成的三角中可被素数p整除的个数，以及每一斜列上的二项式系数中可被素数p整除的个数。

关键词：杨辉三角；素数；二项式系数；同余式

杨辉三角[1]是二项式系数在三角形中的一种几何排列。王先东老师对杨辉三角中数的奇偶性做出了研究，即杨辉三角中的数是否可被素数2整除[2]。本文通过初等方法、同余运算对此问题进行了进一步研究，得出杨辉三角中第a行的二项式系数中可被素数p整除的个数，第0行至第a行构成的三角中可被素数p整除的个数，以及每一斜列上的二项式系数中可被素数p整除的个数。这些结论对于中国剩余定理[3]及相关内容的进一步研究，具有一定的应用价值。

1引理及证明

引理2[5]设p为素数，k,r,t,s∈N，则∀r∈N+，0≤s，r≤p-1，

(1)

证明对r用数学归纳法。注意

引理3[6]设m是大于1的正整数，(a,m)=1，则aφ(m)≡1(modp)。

证明设r1,r2,…，rφ(m)是模m的简化剩余系，则ar1,ar2,…，arφ(m)也是模m的简化剩余系，于是(ar1)…(arφ(m))≡r1r2…rφ(m)(modm)，但(r1,m)=(r2,m)=…=(rφ(m)，m)=1，因此(r1r2…rφ(m),m)=1,从而aφ(m)≡1(modm)。

2定理及证明

2.1杨辉三角行的情形

(2)

证明当s≤t时，反复利用引理1，有

(3)

2.2杨辉三角斜列的情形

定理4设p为素数，k,r,t,s∈N，0≤s,r≤p-1，则

(4)

证明用数学归纳法证明。当s=0时，由引理2，有

即(4)式成立。

假定0≤s-1≤p-2时，(4)式对∀r,0≤r≤p-1都成立，那么对s的情形，有