李凯

植树问题是新人教版《数学》五年级上册第七单元《数学广角》中的内容，这类问题变化多样，学生容易混淆。如何能帮助学生把这类问题理解清楚呢？笔者认为还是要回到问题的源头上，从植树时不考虑起点开始探究，借助学生已有的学习经验引导学生理解植树问题。

一、由“不从起点植树”引发的思考

1.不从起点植树，棵数等于间隔数（学生已有经验）

一段50米的小路，每隔10米种一棵树，可以种多少棵？学生根据以往的学习经验50米里面有5个10米，因此可以种5棵树，应该说学生这样的学习经验并没有错，如图1。

2.“不从起点植树”与“两端都植树”的联系

如果继续把小树向左右两端平移，会得到什么结果呢？显而易见，这样会出现一端栽一端不栽的情况，如图4、图5。结论依然成立。按照每间隔10米种一棵的要求，此时还可以在起点或者是终点再种一棵树，这样棵树就等于间隔数+1了。

只是这个时候线段两个端点上的树去掉了，也可以想象成在两个端点上栽花，如图6。

因此在一条线段上植树，是否从起点开始植树是十分重要的限定条件，它是区分新旧知识和经验的重要节点。据此可以得到这样的关系，如图7。

3.在圆周上植树需要考虑起点吗？

从教材的示意图（图8）中可以看出，在圆形的路线上植树，棵数与间隔数相等。问题是在圆形线路上植树需要考虑起点的位置吗？

我们用钟面为例，将圆周平均分成12等份，如果间距是3个等份，显而易见可以种4棵树。用小圆点表示树，如果在12点的位置种第一棵树，则后面的3棵树分别应该在3点、6点和9点的位置，如图9。如果在一点的位置种下第一棵树，则后面3棵树的位置会以此向后移动一个刻度，如图10，虽然起点的位置改变了，但是结论依然是4棵。可见在圆周上植树是不用考虑起点位置的，无论起点在哪里，棵树都等于间隔数。

4.在圆形路线上的结论推广到其他封闭路线

如果是在长方形或正方形的周界上植树，棵数是不是还等于间隔数呢？我们可以试验一下。以正方形为例，我们把正方形的边长看成4，间距设为2。如果正方形的四个顶点上种树如图11，那么有8个间隔对应有8棵树。如果把这8棵树按顺时针移动相同的距离，就会出现顶点上不种树的情况如图12，这时依然有8个间隔对应8棵树。

因此在封闭路线上以任意一个点为起点，都能够得到间隔数等于棵树的结论，无论顶点上是否种树都不影响到这个结论。

二、对植树问题的知识结构调整

图13是原来植树问题的知识结构。从图中可以看出在封闭路线上植树的问题可以转化成在线段上植树问题中“一端栽，一端不栽”的情况来考虑，但是这两个问题的前提是不一样的，一个要考虑起点，一个不考虑起点，它们只是结论恰好相同而已。实际上在封闭路线上植树应该与学生原有的学习经验对应起来，那就是有几个间隔就有几棵树，不考虑起点。因此可以将原有的知识结构图调整一下如图14，这样学生对于植树问题就比较明晰了，考虑起点时，用原有经验得到间隔数，再根据要求对间隔数进行调整得到种树棵数，不考虑起点时，则运用原有经验，间隔数直接等于种树棵数。

可能有人会这样认为：既然结论相同，原有的知识结构也是成立的，不这样调整似乎也没有什么问题。事实并不是这样，首先，不应该把不同类型的问题混为一谈；其次，分清楚知识结构也有利于我们认识到问题的本质，简化解决问题的思路和步骤。

学生的配套练习中有一道题：全班52名同学在操场上做游戏，大家围成正方形，每边人数相等，四个顶点都有人，相邻两个同学之间相隔0.8米，求围成的正方形的边长是多少米。按照一般的解法是要考虑起点的，因为题目也限定了每个顶点都有人。先算每边人数的时候实际上是转化成了两端都种树的情况，并涉及到四个顶点重复计算问题还需要倒推，这样算起来就会比较复杂。如果按照现在的思路，在封闭路线上植树，不考虑起点，52个人就有52个间隔，无论四个顶点上有没有人，每条边上的间隔数都是一样的，这样算边长不就很简单了吗。而且13+1就可以得到每边人数，比起之前的方法是不是简便很多呢。

一般的解法：先求每边的学生人数（52-4）÷4+2=14（人），再求每边的间隔数14-1=13（个），最后求边长13×0.8=10.4（米）。

现在的解法：先求每边的间隔数52÷4=13（个），再求边长13×0.8=10.4（米）。

从图13可以清楚看到，原有的知识结构与学生已有的数学经验没有什么联系，全部需要学生自己建构。如果采用图14的知识结构，更多的学习经验可以直接继承，需要做出调整的部分减少，这样学生的学习难度就降低了。数学学习强调逻辑性和连贯性，这既是一个继承的过程，也是一个创新的过程。

（作者单位：武汉小学）