宋汶钊　王海峰

摘 要：本文修正了中心型圆锥曲线内接三角形外心的一个性质，提出并解决了三个问题。首先分析了以往错误推理的原因，接着修正了中心型圆锥曲线三角形外心的一个性质，在此基础上，探索了具有上述性质的中心型圆锥曲线内接三角形面积最值的存在性。本文的研究对于中心型圆锥曲线的教学有较好的借鉴和指导作用。

关键词：中心型圆锥曲线；椭圆；双曲线；内接三角形

一、提出问题

笔者首先就张敬坤在《数学通讯》期刊中的“圆锥曲线内接三角形外心的一组性质”（以下简称“例文”）进行了研究。例文研究了三种圆锥曲线内接三角形外心的一个性质，并且基于反证法得到了圆锥曲线内接三角形外心的一组结论：

结论1：椭圆内接三角形外心不会与其中心重合。

结论2：双曲线内接三角形外心不会与其中心重合。

结论3：抛物线内接三角形外心不会与其焦点重合。

事实上，经由图形直观地分析以及严格数学论证，我们发现例文给出的结论1和结论2是错误的，仅有结论3是正确的。

本文试图探讨有中心的圆锥曲线，如椭圆和双曲线（以下称中心型圆锥曲线）的内接三角形外心的性质。

我们首先以椭圆为例，通过图形直观分析椭圆内接三角形外心的特征。

设椭圆O：（a>b>O），以椭圆中心O为圆心，以半径a>r>b作圆，则圆O与椭圆必有四个交点A，B，C，D，则上述任意三个点组成的椭圆内接三角形的外心就是椭圆的中心O，如图1所示。易知，△ABC为直角三角形，其外心与椭圆的中心重合。……