刘亚萍

【摘 要】 利用辅助圆解决角的大小问题在数学中是一个常见问题.在遇到具有综合性以及技巧性且其隐蔽性较强的角的大小问题时，若能结合题目的本质特征，进而联想到圆的相关知识，并且对辅助圆进行恰当构造，总可以让这一些问题由难变易，由繁到简。利用辅助角有利于对这类问题实现有针对性地解决，找到解题捷径。

【关键词】 辅助圆；圆周角；直径；方程；钝角

【中图分类号】G633.2 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2016）07-0-01

纵观全国各地中考压轴题，角的大小问题具有举足轻重的地位。对于某些综合性、技巧性、隐蔽性较强的角的大小问题，许多学生往往感到无处下手。在遇到这些题时，需要对辅助圆作恰当地构造。而对辅助圆的构造需要联想到圆的有关知识。为了实现这个目标，需要结合题目的本质特征，进而找到解题捷径。利用辅助圆的构造，就可以实现化繁为简，化难为易，下面笔者就以一些具体实例加以说明。

一、利用圆周角定理

对于一些角的大小问题，能利用圆周角定理。利用同弧或等弧所对的圆周角相等这个特点，则可以另辟蹊径。

例1 （本题为2014·晋江市二模题一，有改动）已知抛物线y=a（x﹣2）2+1。该抛物线从左到右依次与x轴交于A、B两点，并与y相交于点C。（如图1）点B的坐标为（3，0），连接AC、BC。

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若P为此抛物线的对称轴上的一个动点，那么，设点P的纵坐标为m。

求：在P点的运动过程中，∠APB能否与∠ACB相等？

如果能，那么请求出点P的坐标；如果不能，请解释说明。

分析与简解：定线段与动点的张角问题可考虑添加辅助圆，利用同弧所对的圆周角相等。可以先设直线x=2与x轴相交于点D。然后作△ABC的外接圆⊙E与直线x=2位于x轴下方的部分的交点为P1。再做P1关于x轴的对称点P2，那么P1、P2就是所需求的点。在Rt△ADE中，由勾股定理得EA的长，可得P1（2，﹣2﹣）。由对称性得P2（2，2+）。

（1）抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣2）2+1=﹣x2+4x﹣3；

（2）如图2，设直线x=2与x轴的交点为点D，作△ABC的外接圆⊙E与直线x=2位于x轴下方的部分的交点为P1，P1关于x轴的对称点为P2，则P1、P2均为所求的点。

∵圆心E必在AB边的垂直平分线即直线x=2上。

∴点E的横坐标为2。

又∵OB=OC=3，

∴E（2，﹣2）。

在Rt△ADE中，由DE=2，

则AD=AB=（OB﹣OA）=（3﹣1）=1

由勾股定理得EA===，

∴EP1=EA=，

∴DP1=DE+EP1=2+，

∴P1（2，﹣2﹣）。

由对称性得P2（2，2+）。

∴可得结论：符合题意的点P的坐标分别为：P1（2，﹣2﹣）、P2（2，2+）。

二、利用圆心角、圆周角、圆外角的关系

解题时若能另辟蹊径应用圆心角、圆周角、圆外角的关系，常常能够化繁为简，达到快速解题的目的。

例2 （2014·淄博改动）在直角坐标系内有一个动点P，A点与B点的坐标分别是（1，0），（5，0）。问：当点P沿y坐标轴移动时，∠APB是否有最大值？如果有，请求出点P的坐标。同时，请说明此时∠APB最大的理由；如果没有，请说明没有的理由。

理由：易证：∠APB=∠AEH，当∠APB最大时，∠AEH最大。由sin∠AEH=得：当AE最小即PE最小时，∠AEH最大。所以当圆与y轴相切时，∠APB最大。

①当点P在y轴的正半轴上时，

∵⊙E和y轴相切于点P上，

∴PE⊥OP。

∵EH⊥AB，OP⊥OH，

∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°。

∴四边形OPEH是矩形。

∴OP=EH，PE=OH=3。 ∴EA=3。

∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，∴EH===

∴OP=∴P（0，）。

②当点P在y轴的负半轴上时，

同理可得：P（0，﹣）。

连接NA（如图3）。

∵∠ANB是△AMN的外角

∴∠ANB>∠AMB

∵∠APB=∠ANB，∴∠APB>∠AMB。

若点P在y轴的负半轴上，

可得结论：点P的坐标为（0，）和（0，﹣）。

三、利用圆90的圆周角

由圆周角定理的推论知：90的圆周角所对的弦是直径，从而使问题转化为与直角三角形的外接圆相关问题求解。

例3 （本题来自2014·南宁，有改动）如图4，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k>0）与直线y=kx+1交于两点A、B，点B点在A点的右侧，同时和x轴相交于两点C、D（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否只存在一点Q，可以使∠OQC=90°？如果存在，那么请求出k的值；如果不存在，请说明理由。

解：由，得C、D（1，0）。

设点Q的坐标为（m，km+1）。

如图5，作QM⊥y轴于Q，作CN⊥QM于N。

当∠OQC=90°时，△QMO∽△CNQ。

所以。因此。

整理成关于m的方程，得。

如果只存在一点Q，可以使∠OQC=90°，那么关于m的方程有两个相等的实数根。

所以。解得。

四、利用圆的有关角的一些特殊关系

由圆周角定理推论可知，直径（或半圆）所对应的圆周角是直角。同时，直径的两个端点和圆内任意一点所围成的三角形是钝角三角形，这一结论往往对解决有关角的大小问题具有很好的效果。

例4 （2014·广州，经改动）已知A（﹣1，0）与B（4，0）是平面直角坐标系中两个定点。有抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0），点P（m，n）（n<0）为抛物线上一点。抛物线经过点A与B，其顶点为C。

（1）请求出该顶点C的坐标和抛物线的解析式

（2）求当m的取值范围为多少时，∠APB为钝角。

解：（1）抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；C（，﹣）.

（2）如图6，以AB为直径作圆M，则抛物线在圆内的部分，

∵P′是抛物线与y轴的交点，∴OP′=2，

∴MP′==，∴P′在⊙M上，∴P′的对称点（3，﹣2），

∴当﹣1

几何命题证明的魅力就在于其独特灵活的技巧以及多样的策略。而选择利用辅助圆解决角的大小问题更使几何证明题有着别样的趣味，独特的方法使人深受启发。若能合理地运用构造辅助圆解决角的大小问题，不但可以使问题变得简明，而且对进一步认识数学知识的内在规律和联系、提高综合运用知识的能力、培养创造性思维能力大有裨益。