龙丽丽,　刘东甲,　蒋　红

(1.安徽水利水电职业技术学院 市政工程系,安徽 合肥　231603; 2.合肥工业大学 资源与环境工程学院,安徽 合肥　230009)



Timoshenko梁模型下完整桩瞬态横向振动半解析解

龙丽丽1,刘东甲2,蒋红1

(1.安徽水利水电职业技术学院 市政工程系,安徽 合肥231603; 2.合肥工业大学 资源与环境工程学院,安徽 合肥230009)

摘要:文章采用Timoshenko梁模型下桩-土系统横向振动的动力学模型和数学模型,通过Laplace变换,得到桩顶横向振动速度在频域内的解析解,进行快速Fourier逆变换,得到桩顶速度时域内的表达式;根据试验桩参数绘制出速度导纳曲线及桩顶速度曲线,分析Bernoulli-Euler梁模型和Timoshenko梁模型的速度导纳曲线的特点,对比2种模型桩的理论速度曲线与试验桩实测速度曲线的差异;分析不同参数对桩顶横向动力响应的影响。结果表明,Timoshenko梁模型的结果比Bernoulli-Euler梁模型更接近于工程实际中低应变横向测桩的结果,所得半解析解结果能在频域内进行分析,具有很好的适应性和准确性。

关键词:Timoshenko梁;瞬态横向动力响应;传递函数;导纳曲线

对于瞬态冲击下单桩的横向动力响应,建立的动力学模型和数学模型主要分为3种：Bernoulli-Euler梁模型、Timoshenko梁模型及Reddy三阶梁模型。其中Bernoulli-Euler梁模型不考虑桩的剪切作用和转动惯量的作用[1-4],在分析单桩的水平振动问题时会带来较大误差[5],且在低应变测桩横向动力响应分析时会出现频散的现象,导致无法判别桩底反射[3]。Reddy三阶梁模型考虑了梁在冲击作用下的剪切作用,但是高阶梁模型建立非常复杂,计算工作量非常大,更多用于复合材料层合板的分析[6-7]。而Timoshenko梁模型作为一阶梁,模型建立相对简单,同时又考虑了剪切作用的影响[8],应用于冲击荷载作用下桩身动力响应问题中效果较好[9],低应变测桩研究中,该模型下得到的速度曲线与工程实测曲线非常接近,是研究低应变测桩横向动力响应的很好的模型[10]。以往在Timoshenko梁模型下桩-土系统横向动力响应的研究主要集中在频率域内刚度、弯矩、剪力等内容的研究,然而,系统振动的速度更本质地描述了系统的运动过程,速度导纳作为理论传递函数时,对于离散系统是严格精确的,对于连续系统,可期望获得满足工程精度的结果[11]。而且,工程人员更习惯对于时域内的动力参数进行分析和处理。

本文采用Timoshenko梁模型下完整桩的横向振动动力学模型,考虑桩底铰接、桩底自由和桩底固定3种情况,通过方程组的处理,进行Laplace变换,解析地得到了频域内桩-土系统关于桩顶横向振动速度的传递函数和桩顶速度的频率响应函数,绘制出速度导纳曲线,然后通过快速Fourier逆变换绘制出时域内的桩顶速度曲线。将Timoshenko梁模型下的速度导纳曲线和桩顶速度曲线与Bernoulli-Euler梁和实测完整桩速度曲线对比,并分析不同参数对桩顶横向动力响应的影响,得到的结论为桩的瞬态横向振动理论分析提供了基础,也为工程人员横向测桩提供了依据。

1完整桩横向振动定解问题

根据Timoshenko梁振动理论[12-13],文献[10]推导出横向振动微分方程为:

(1)

(2)

其中,u(z,t)为横向位移;θ(z,t)为截面弯曲所产生的转角;E为桩的弹性模量;G为桩的剪切弹性模量;J为桩截面对中性轴的惯性矩;A为横截面面积;ρ为桩身密度;k′为取决于横截面形状的数值因子;k为桩周土刚度系数;c为阻尼系数;k、c的简化式参考文献[14]的(4)式。

初始条件为:

桩顶边界条件为:

(3)

(4)

其中,q为剪力;m为弯矩;p(t)为桩顶横向激振力[15]。

桩底边界条件考虑为铰接:

2定解问题的求解

将(1)式、(2)式分别消去θ和u,可得:

(5)

(6)

考虑初始条件,对(5)式、(6)式作Laplace变换,可得:

(7)

(8)

其中,U(z,s)为u(z,t)的Laplace变换;Θ(z,s)为θ(z,t)的Laplace变换。

(9)

(10)

方程(7)式、(8)式的通解为:

U(z,s)=C1cosαz+C2sinαz+

C3cosβz+C4sinβz

(11)

Θ(z,s)=D1sinαz+D2cosαz+

D3sinβz+D4cosβz

(12)

对(2)式作Laplace变换,可得:

(13)

将(11)式、(12)式代入(13)式,有

(ρJs2+k′AG)(D1sinαz+D2cosαz+

D3sinβz+D4cosβz)-k′AG(-αC1sinαz+

EJ(-α2D1sinαz-α2D2cosαz-

β2D3sinβz-β2D4cosβz)=0

(14)

为了满足(14)式成立,系数C1～C4、D1～D4满足以下关系:

(15)

其中

令z=0,对(3)式、(4)式分别进行Laplace变换,并将(11)式、(12)式、(15)式代入计算得:

(16)

(17)

考虑桩底边界条件为铰接情形,令z=l,有

(18)

βηC3cosβl-βηC4sinβl=0

(19)

联立(16)～(19)式,解得:

(20)

其中

P(s)为p(t)的Laplace变换。

3桩顶横向动力响应

在低应变动力测桩中,测定的一般为桩顶横向振动速度v(t)。v(t)的Laplace变换为:

在(11)式中,令z=0,则U(z,s)|z=0=C1+C3,将(20)式代入,得桩-土系统关于桩顶横向振动速度的传递函数为:

(21)

在(21)式中令s=iω,得桩顶速度的频率响应函数为:

(22)

桩顶速度频谱为:

(23)

最后,由(23)式的Fourier逆变换得到时域的桩顶速度v(t):

(24)

4工程实测算例

为了检验以上桩土模型及频域解析解对于低应变测桩横向振动问题的实用性,测试了合肥工业大学纬地楼前1#试验桩,得到桩顶横向振动的实测速度曲线。试验桩桩长l=7 m,桩径d=0.8 m,桩径比l/d=8.75。

参考试验桩桩身及桩周土条件,按以上推导过程进行理论速度曲线模拟计算,参数设置如下:桩的质量密度ρ=2 400 kg/m3,泊松比υ=0.28,弹性模量E=33.75 GPa;桩周土剪切波速vs=100 m/s,密度ρs=1 700 kg/m3,泊松比υs=0.4;横截面形状的数值因子k′=3/4;桩顶横向激振力冲量和作用时间分别为I=1 N·s,t0=1.0 ms。

将本文Timoshenko梁模型下半解析解结果绘制成理论速度曲线,与试验桩实测速度曲线和Bernoulli-Euler梁模型下理论速度曲线一起进行归一化处理,速度曲线对比如图1所示。可以看出,Bernoulli-Euler梁速度曲线与实测速度曲线的入射反射同步进行,但是由于频散,Bernoulli-Euler梁在桩底反射前即已产生了波动,与实测曲线的桩底反射时间相差甚远;而Timoshenko梁理论速度曲线,入射与桩底反射都能很好地与实测速度曲线进行拟合,在0.6 ms处入射波同时达到峰值,6.4 ms处开始出现桩底反射,桩底反射在同相位、反相位之间反复变化,且2条曲线的相位变化趋势一致。

Timoshenko梁模型与Bernoulli-Euler梁模型的速度导纳对比如图2所示。

图1　速度曲线对比

图2　速度导纳曲线对比

图2中Bernoulli-Euler梁模型的速度导纳曲线出现相邻峰频差Δf随频率增大而增大的现象;而Timoshenko梁模型速度导纳曲线的Δf基本相等,这是桩底反射波(见图1)的反映,从另一方面印证了Timoshenko梁考虑到了桩的剪切作用,在横向振动问题的研究中,频散相对较小。

不同桩底约束情况下速度曲线对比如图3所示。

本文建立的定解问题中,桩底边界条件考虑为弹性约束铰接。为了分析不同桩底边界条件的特点,图3考虑了桩底固定、自由和绞接3种情况。图3a桩径比l/d=8.75,可以看出,桩底自由时最先发生桩底反射,桩底固定和桩底铰接的情况几乎同时发生桩底反射,但是桩底铰接的反射波峰值比桩底固定的情况更大。图3b中,桩径取d=0.4 m,桩径比l/d=17.5,图中3种桩底边界条件的桩底反射时间及反射峰值均非常接近。文献[4]指出,在一般的桩土刚度比情况下,当l/d=10时,桩底条件对整个反应曲线影响较大,而当l/d=15时,桩底固定、自由和铰接3种边界条件的结果非常接近。

图3　不同桩底约束结果对比

本文半解析解结果与文献[10]差分法结果理论速度曲线的对比如图4所示。

图4　不同算法结果对比

可以看出2种方法的结果比较接近,差分法的入射反射和桩底反射相对偏早,且入射波的峰值与本文的结果相比较小。由本文的半解析解结果可以绘制出速度导纳曲线,从理论分析的角度来说,可以在频域内对动刚度等内容进行分析;同时从工程实践的角度,还可以从频域内获得更多的桩身完整性信息[16]。

5横向振动响应参数分析

不同桩长时的横向动力响应如图5所示。

从图5a可以看出,桩底发生反射时间的早晚与桩长成正比。但是,与纵向振动不同,横向振动桩底反射的相位不是确定的,而是在同相位、反相位之间反复变化。这点在图1的实测曲线中也得到了验证。图5b中,速度导纳曲线的相邻峰频差Δf反应了桩的长度,桩长越长,相邻峰频差越小;相邻峰谷幅度差ΔN反应了桩-土系统的阻尼特性,桩长越长,阻尼越大。

图5　不同桩长横向动力响应

不同桩径下的横向动力响应如图6所示。

图6a中,随着桩径的增加,入射波的峰值减小。由于桩径越大桩顶横向动刚度越大,入射波峰值过后桩径d=1.2 m的速度曲线在最上方,最接近图中所示零刻度线,处于中间的是桩径d=0.8 m的速度曲线,桩径d=0.4 m的速度曲线位于最下方。

图6b同样也反映了桩顶的横向动刚度,桩径d=0.4 m的桩顶横向动刚度最小,所以导纳曲线初始部分的斜率最大,桩径d=0.8 m的斜率居中,桩径d=1.2 m的斜率最小。

图6　不同桩径横向动力响应

不同剪切波速的横向动力响应如图7所示。

图7　不同剪切波速横向动力响应

图7a中随着桩周土剪切波速的增大,入射波的峰值和桩底反射减小。此外,入射波峰值过后,剪切波速vs很小(20 m/s)时,桩顶的横向动刚度也非常小,桩周土对桩顶的横向动力响应影响不大,所以速度曲线在入射波回复过后一直位于零刻度线上方;随着vs的增加,桩周土变硬,vs=100 m/s及vs=180 m/s的速度曲线均在入射波回复过后位于零刻度线下方。图7b中的导纳曲线同样也反映了桩顶横向动刚度的大小及桩-土系统的阻尼特性。

6结论

本文采用Timoshenko梁模型,考虑了横向振动下剪切作用的影响;从基本的理论方程出发，通过数学演算得到频域内桩-土系统速度的解析解,比差分法的结果[10]具有更好的适应性;通过快速Fourier逆变换得到的时域桩顶速度曲线和速度导纳曲线,显示Timoshenko梁模型下的速度曲线与工程桩实测曲线吻合良好,速度导纳曲线在正常范围内曲线光滑,相邻峰频差Δf基本相等,频散较小;将桩底边界条件设为铰接、自由和固定3种情况,得到桩径比较大时,3种结果非常接近的结论;设置不同的参数,在频域和时域内对桩顶横向振动响应进行分析,得到的结论有利于进一步对横向振动理论的研究,其更接近于工程实际低应变横向测桩的结果,能够辅助工程中低应变横向测桩的曲线判断。

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(责任编辑张淑艳)

Semi-analytical solution for transient lateral vibration of integrate piles based on Timoshenko beam model

LONG Li-li1,LIU Dong-jia2,JIANG Hong1

(1.Dept. of Municipal Engineering, Anhui Water Conservancy Technical College, Hefei 231603, China; 2.School of Resources and Environmental Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Abstract:Using the dynamical and mathematical models of lateral vibration of pile-soil system under Timoshenko beam model, an analytical solution of the velocity of lateral vibration in frequency domain was derived by Laplace transforming, and the velocity of pile head in time domain was worked out through fast inverse Fourier transforming. According to the test pile parameters, the curves of velocity admittance and pile head velocity were plotted to show the features of velocity admittance curves of Timoshenko beam model and Bernoulli-Euler beam model. The theoretical velocity curves of the two model piles and the real velocity curves of test piles were also compared to analyze the impact of variant parameters on the dynamical response of pile head. It is shown that the results of Timoshenko beam model are more approximate to the observation in low strain integrity testing than those of Bernoulli-Euler beam model. The semi-analysis method can solve the response of pile-soil system in frequency domain and has strong adaptability and high accuracy.

Key words:Timoshenko beam; transient lateral dynamic response; transfer function; admittance curve

中图分类号:TU473.16

文献标识码：A

文章编号：1003-5060(2016)03-0368-06

doi:10.3969/j.issn.1003-5060.2016.03.017

作者简介：龙丽丽(1982-),女,湖南汨罗人,安徽水利水电职业技术学院讲师;刘东甲(1957-),男,安徽枞阳人,合肥工业大学教授,硕士生导师.

基金项目：安徽省高等学校优秀青年人才基金资助项目(2012SQRL244);广东省公路管理局科技资助项目(粤公研2011-21);广东省交通厅科技资助项目(2009-02-020);安徽省国土资源厅科研资助项目(2010-g-32)和安徽省高校自然科学研究资助项目(KJ2016A289)

收稿日期：2015-01-14；修回日期：2015-02-09