杨智勇,　牛忠荣,　葛仁余,　孙学根

(1.合肥工业大学 土木与水利工程学院,安徽 合肥　230009; 2.铜陵学院 机械工程学院,安徽 铜陵　244000; 3.安徽工程大学 建筑工程学院,安徽 芜湖　241000)



功能梯度叠层厚板弯曲半解析求解

杨智勇1,2,牛忠荣1,葛仁余3,孙学根1

(1.合肥工业大学 土木与水利工程学院,安徽 合肥230009; 2.铜陵学院 机械工程学院,安徽 铜陵244000; 3.安徽工程大学 建筑工程学院,安徽 芜湖241000)

摘要:文章提出了状态空间方程结合插值矩阵法计算强厚度功能梯度叠层板静力问题的求解途径,依照三维弹性理论,对叠层板的每一单层建立状态方程,联合边界及层间连续条件,导出以应力和位移为基本变量的变系数常微分方程组,将板的静力问题转化为两点边值问题,并采用插值矩阵法直接求解,获得该问题的数值解。算例结果表明,该法计算结果与现有结果吻合,能有效计算功能梯度叠层板的静力问题,且具有计算量小、前处理方便、应力和位移精度同阶等优点。

关键词:强厚度叠层板;功能梯度材料;状态方程;插值矩阵法

随着科学技术发展的要求,在航空、航天等领域涉及很多强厚度叠层结构。对于各种厚壁结构,针对薄板的Kirchhoff理论已经不能适用了。各种中厚板结构理论,如Reissner理论,一般地均引入一些简化假设,致使弹性力学基本方程只能部分被满足,难免会产生较大的误差[1-3]。采用有限元方法来进行计算是一种比较有效的办法,有通用的商业软件[4-6]是其最大的优点,但对于材料属性变化梯度较大的功能梯度材料(FGM),想要提高精度则需划分更密的单元,这无疑会增大计算工作量。文献[7]引入状态空间,给出了任意厚度叠层板壳力学问题的解析解。状态空间法的引入,大大减少了计算工作量,目前被广泛应用于求解各类板壳问题[8-11]。然而,对于非均质材料(如FGM),状态空间法难以获得系统状态转移矩阵,只能求解材料参数按某种特殊形式变化的情形,如幂指数形式。文献[12-13]采用状态空间和有限元结合的半解析法,避开了求状态转移矩阵的困难,但有限元法的应力解是不连续的,比位移的精度要低一阶,尤其在振动问题中会引起较大误差。

本文采用插值矩阵法[14-15],从三维线弹性理论出发,对叠层板分层建立状态方程并联合边界及连续条件,最终将问题转化为两点边值问题,获得了FGM叠层厚板的应力和位移解。

1叠层板静力问题控制方程

考虑一弹性矩形叠层板,如图1所示, 板长、宽和高分别为a、b、h,共有k层,第j层厚度为hj,建立图示直角坐标系。

图1　三维弹性矩形叠层板

现在对第j层进行分析,建立图示坐标系,设第j层层高hj。不计体力,三维线弹性力学问题偏微分方程为:

(1)

其中,σjx、σjy、σjz为3个正应力分量;τjxy、τjxy、τjxy为3个切应力分量。

对于三维体,其线弹性本构关系为:

(2)

其中,σj为应力列向量；Dj为第j层弹性矩阵；εj为应变列向量。

(3)

(4)

其中,Cjkl(k=1,2,3,…，6;l=1,2,3,…，6)为与第j层材料有关的系数,并假定仅为坐标zj的函数。

(5)

其中,Uj、Vj、Wj分别为坐标xj、yj、zj3个方向的位移分量。

由本构关系(2)式中可先求出3个平面应力分量，即

(6)

再将(6)式代入(1)式,连同(2)式经过合并整理后可得：

(7)

在(7)式中令:

则有:

(8)

对于四边简支矩形厚板,将其位移分量Uj、Vj、Wj和(8)式3个应力分量作为基本未知函数,在x和y方向分别采用双三角级数表示如下:

(9)

其中,Ujmn、Vjmn、Zjmn、Xjmn、Yjmm、Wjmn分别为各级数项的幅值,为变量zj的函数。显然(9)式满足四边简支边界条件。令

对每一级数对m-n,将(9)式代入(8)式,可转化为如下一阶常微分方程组:

(10)

其中，m=1,2,…,∞;n=1,2,…,∞。

令zj=hjr,r∈[0,1],单位化后可得:

(11)

当板的上面(z=0)受到均布载荷q0时,厚板上、下表面的边界条件为:

(12)

(13)

在板各层接触的地方,除了各平面应力分量可能不连续外,其余各量的连续条件为:

(14)

(15)

其中，1

至此,已将简支厚矩形板弹性理论的基本方程转化为以诸函数(Ujmn,Vjmn,Zjmn,Xjmn,Yjmm,Wjmn)表示的常微分方程组(11)式在边值条件(12)～(15)式下的求解问题。解此获得(Ujmn,Vjmn,Zjmn,Xjmn,Yjmm,Wjmn),代入(9)式得到基本变量(Uj,Vj,Zj,Xj,Yj,Wj),再代入(6)式获得其他应力分量σjx、σjy、τjxy。

2数值算例

根据上述途径求解矩形厚板问题,需要一个有效的方法用于常微分方程边值问题求解,文献[14-15]创立了插值矩阵法,该法可求解常一般微分方程组边值问题。插值矩阵法的一个优点是在常微分方程组里出现的所有函数和其各阶导数的计算值可同时获得,并具有同阶精度。插值矩阵法已经研制成常微分方程求解器,本文采用插值矩阵法求解常微分方程组(11)式和相应的边值条件(12)～(15)式。

图2　x=y=0.5 m,z/h=0.5处挠度随级数项增加的收敛情况

表1所列为当截取到m=n=19时,本文方法和文献[7]状态空间法解的部分无量纲位移结果对比,插值矩阵法在求解区间z∈[0,h]取N=20,N为所划子区间数目。由表1可见,本文结果与状态空间法解是吻合的,精度可达10-4量级,从而说明了本文方法的有效性。

表1　3层板的部分无量纲位移沿厚度方向的变化

表2　3层板的无量纲位移 (0)/qh沿厚度方向的变化

表3　3层板的无量纲应力σx/q沿厚度方向的变化

值得指出的是,算例2仅给出了材料参数沿厚度方向呈幂指数变化的形式,对于按其他各种形式连续变化的情况采用本文方法均能进行有效计算。

3结论

本文采用状态空间方程结合插值矩阵法的半解析求解,得到了功能梯度叠层板的静力问题的数值解,主要结论如下:

(1) 采用状态空间结合插值矩阵法的半解析法,能有效求解强厚度叠层板的静力问题,求解精度可达10-4量级。

(2) 对于功能梯度材料叠层板的静力问题,采用本文方法能避开状态转移矩阵求解困难,从而能有效求解材料参数沿厚度方向按各种形式连续变化的情形。

(3) 状态空间方程结合插值矩阵法的半解析求解途径,既有状态空间法计算量小的长处,又具有前处理工作量小、实施便捷、应力求解精度高等优点。

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(责任编辑张镅)

A semi-analytical method for the bending of FGM thick laminated plates with interpolating matrix method

YANG Zhi-yong1,2, NIU Zhong-rong1, GE Ren-yu3, SUN Xue-gen1

(1.School of Civil and Hydraulic Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China; 2.College of Mechanical Engineering, Tongling University, Tongling 244000, China; 3.College of Civil Engineering and Architecture, Anhui Polytechnic University, Wuhu 241000, China)

Abstract:The rectangular thick laminated plates made of functionally graded materials(FGM) are analyzed by three-dimensional linear elasticity theory. For the FGM rectangular laminated plates, some displacement and stress components are acted as the basic variables. Firstly, these basic variables are expressed as the sums of the double trigonometric function expansions in the plane of the plates. Then, they are substituted into the governing differential equations of three-dimensional linear elasticity theory. Consequently it leads to a series of two point boundary problems of ordinary differential equations with the basic variables. Finally, the interpolating matrix method(IMM) is applied directly to solve the ordinary differential equations. All displacement and stress components of the laminated plates can be obtained. Examples are given to demonstrate that the computational results and the existing results agree well. The approach can be used to compute the static problem of FGM laminated plates effectively and it has many advantages, such as low computational complexity, easy pre-processing and the same accuracy for the results of stress and displacement.

Key words:thick laminated plate; functionally graded materials(FGM); state space equation; interpolating matrix method(IMM)

中图分类号:O343.2

文献标识码：A

文章编号：1003-5060(2016)03-0355-05

doi:10.3969/j.issn.1003-5060.2016.03.014

作者简介：杨智勇(1973-),男,江西吉安人,合肥工业大学博士生，铜陵学院讲师;牛忠荣(1957-),男,安徽合肥人,博士, 合肥工业大学教授,博士生导师.

基金项目：国家自然科学基金资助项目(11272111;11372049)

收稿日期：2015-01-08；修回日期：2015-04-31