邵文凯（宜宾职业技术学院,四川　宜宾　644003）



几个正项级数判别法在证明调和级数敛散性中的应用

邵文凯
（宜宾职业技术学院,四川宜宾644003）

摘 要：本文从调和级数发散性质最初的证明思想出发，介绍了调和级数发散性证明的发展历程与多种证明思路。并利用了一些大学数学很难接触到的正项级数判别法给出调和级数发散性的几种罕见的证明方法，通过这些证明，使得对级数敛散性的学习和研究更有效。

关键词：调和级数；发散；正项级数

1　调和级数的早期经典证明

高等数学中我们熟知的调和级数

的发散性最早是由法国学者尼古拉奥雷姆（1323-1382）在极限概念被完全理解之前证明的。他的方法很简单：

注意后一个级数每一项对应的分数都不大于调和级数中相对应的项，而且后面级数的括号中的数值和都为，这样的一有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发散的。

后来，大数学家约翰伯努利也作出了经典的证明。他的证明是以莱布尼茨的收敛级数为基础的。令，他通过一系列演算得出A=A+1。显然没有一个有限数会大于等于自己，即A是无穷大，所以调和级数发散。伯努利作出这一论证之后的150年，才有真正的级数理论出现。

2　利用几个正项级数判别法证明调和级数发散

而今，随着级数理论的不断完善，我们可以应用更多更精彩的方法证明调和级数的发散性。下面我们主要利用了一些大学数学很难接触到的正项级数判别法给出调和级数发散性的几种证明方法。……