朱　凯，张　旭，马　清（遵义师范学院工学院，贵州遵义563002）



固结弹性薄层的空间轴对称接触问题

朱凯，张旭，马清
（遵义师范学院工学院，贵州遵义563002）

摘要：基于弹性理论研究了刚性基底上固结弹性薄层的空间轴对称接触问题，采用合理假设位移分段函数的方法，求解弹性薄层的应力分量，最终获得能满足所有边界条件应力的解析解，避免了复杂的数学理论，同时弥补了三维接触问题中运用Johnson假设进行求解所带来的缺陷。

关键词：弹性薄层；空间轴对称；应力分量；分段函数；Johnson假设

有关弹性薄层的空间轴对称接触问题已有众多学者研究。其中Johnson[1]研究了弹性薄层的二维接触问题，主要集中在薄层厚度远小于接触半径（b<< a）的特殊情况，并形成了著名的Johnson假设，即“薄层厚度远小于接触半径时，认为薄层上下变形均匀是合理的”，在弹性薄层固结刚性基底的情况下，此假设等同于“薄层没有水平位移”。此后很多学者关于薄层三维接触问题的研究均建立在此假设的基础上。Jaffer[2]以Johnson假设为基础，主要研究了当弹性薄层为可压缩材料并且与刚性基底固结时，接触压应力的分布情况，但未涉及位移场和应力场的分析。Barber[3]采用不同的方法研究了接触压应力的分布。Ning等[4]以Johnson假设为基础，利用Abaqus对接触区域压力进行有限元分析，所得结果与理论结果基本吻合，但所得应力分量完全无法满足边界条件，这也是利用Johnson假设求解空间接触问题的缺陷。Jaffer[5]的另一篇论文以Popov[6]和Alexandrov[7]的成果为基础，假定压力分布及位移函数为修正Legendre多项式的展开形式，涉及到复杂数学理论的应用。Mattthewson[8]在1980年提出了求解薄层空间轴对称问题的新方法，通过分析厚度方向平均应力、应变得到此问题的近似解，并着重分析了当泊松比v为0.5时，弹性薄层作为基底保护层的应力场、位移场。还有许多学者[9-12]对该问题进行了大量的研究。

通过对以往建立在Johnson假设上的文献的分析不难得知，利用该假设求解薄层接触问题最终将导致薄层上表面的切应力边界条件完全无法满足。本文旨在通过一种简单的数学方法得到弹性薄层应力的解析解，利用分段函数的形式，合理假定径向位移分量和竖向位移分量，最终得到能完全满足所有边界条件的应力分量，为固结薄层接触问题的求解提供理论依据。

1问题的建立

图1刚性基底上固结弹性薄层与刚性球状压头的法向接触

2边界条件

由图1可知，刚性圆球与薄层之间的接触区域为球冠状，接触半径为。刚性圆球与薄层之间的界面假定不受摩擦的影响，同时由图1可知，只有接触区域内有应力分布，故可得边界条件如下：