林泉（大田县文江中心小学，福建 大田　366100）



过程性、现实性、弹性：小学数学教材二次开发三要素

林泉
（大田县文江中心小学，福建 大田366100）

小学数学教材在过程性、现实性、弹性等方面存在需要“二次开发”的因素。具体开发方法是：充分展现知识的形成过程，设计作为活动的数学；数学素材进一步贴近学生现实，突出本土化和常识化；教学内容增加弹性，全面贯彻落实课程标准。开发教材时，达到数学教育基本矛盾双方“数学方面”和“教育方面”的恰当平衡，则是实现课程的整体目标的关键之所在。

数学教材；二次开发；过程性；现实性；弹性

在不同的哲学思想指导下，由于各自的价值观念及社会利益，教材编写者总要根据自己的“经验世界”对数学学习进行再创造，这种创造因经验不同，所发生的变化是很大的；而且所设计出来的教材并不一定恰好适合于每一个具体的教学过程。在教学中，具体执行教学的教师总是要根据每一个具体教学过程的需要进行具体的再加工，要懂得“创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材”。［1］

首先，要读懂教材告诉我们什么。例如，人教版的“鸡兔同笼”问题由《孙子算经》中记载的原题引入，考虑到数据较大，教材在例1把原题的数据变小，并提供多种解法：①猜测法。分别猜测鸡、兔各有多少只，然后验证脚的只数是否对应，最终找到正确答案。②列表法。列表格按顺序寻找答案。③“假设法”是一种算术方法，但有其独特的特点，是一个假设——计算——推理——解答的过程。此外，“阅读资料”中介绍了趣味解法——“抬腿法”。其中列表法如同一张网，它“网”住了其它各种解法，而假设法如同网的一格，“快准狠”，是思考更具有逻辑性的一般性解法。再进一步思考：例1并非是必需的，因为有的孩子可能直接求出原题的答案；只是对于没有思路的学生，他才需要从简单的问题入手，所以教材为教学留下很大的机动空间。

一般地说，作为义务教育教科书的数学教材具有这些特点：科学性、整体性、过程性、现实性、弹性、可读性，它为学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构，是实现数学课程目标、实话数学教学的重要资源。所以，在使用教材时，首先必须正确地、合理地解读教材。

数学教育包括“数学方面”和“教育方面”，这两者就构成了数学教育的基本矛盾，“数学教育应由惟一地强调基础知识与基本技能转变到更为重视帮助学生学会数学地思维乃至学生数学素养的培养上面来”。［2］老师读教材要读出矛盾的两个方面来，即第一层次从“数学方面”读教材，理解数学实质和教材结构，弄清例题的地位和作用，厘清例题与习题的联系；第二层次从“教育方面”读教材，特别是从学生的角度读教材，感悟知识的形成和应用，弄清学生可能读懂什么可能会有哪些疑难问题。从现实来看，教师很少从学生的角度读教材，甚至有不读教材而凭着自己的经验进行教学，却美其名曰创造性使用教材。

教材通常是过去的研究成果的集合，因而静态地呈现知识和远离学生的现实是教材的客观存在。例如，人教版三年级下册的“笔算除法”。教材从42÷2到52÷2按数的顺序进行编写例题，学习内容的呈现有动态的味道，但每个例题都要分小棒、列竖式，学生所看到的数学却是静态的。又如，人民币的基准利率一年通常地要调整好几次，它是动态的，而在教材中它的呈现却是静态的。

所以说，教材内容的呈现虽然可体现着过程性，但总不是“活动”的，学生难于观察、实验、猜测、推理、交流和反思；教材呈现内容的素材虽然是力求贴近学生现实，但现实往往是有时空的，如城市学生的现实并非农村学生的现实，甲地学生的现实也非乙地学生的现实；教材内容的设计虽然能有一定的弹性，但不同的学生有不同的需求，不同的学生在数学上有不同的发展。

一、充分展现知识的形成过程，设计作为活动的数学

数学课程标准（2011版）指出：“设计必要的数学活动，让学生通过观察、实验、推理、交流、反思等，感悟知识的形成和应用。恰当地让学生经历这样的过程，对于他们理解数学知识与方法、形成良好的数学思维、增强应用意识、提高解决问题的能力有着重要的作用。”教学设计时，可用规律的事物把某些例题构建成连续性学习材料，运用连续性的学习材料组织课堂教学，可以引导学生在学习过程中形成多次正反馈，实现有效归纳，提高获取知识的可靠性。［3］

例如，把前述42÷2和52÷2放置在“百数表”，可以构建出一组连续性的学习材料：2÷2、12÷2、……、82÷2、92÷2，学生通过口算求出商是2、6、11、……、41、46；接着，学生用百数表中的数任意写出若干个一位数除两位数的算式，并进行口算，而对于其中有余数的除法口算起来便会觉得有难度。这时让学生对52÷2=26进行反思探索笔算方法，再探索42÷2的笔算方法，学生再进行若干的笔算，就形成算法的范例。而后，对这些范例进行反思，就可以总结出算理。在学习活动中，纵向数学化和横向数学化交织使用，充分展现了知识的形成过程。

数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀。所以，一堂数学课可以开发为二至三个数学活动，每一个数学活动包括“活动——反思——讲解”（即做什么、想什么、讲什么）等三个环节，若干活动之间要有内在的逻辑联系。

二、数学素材进一步贴近学生现实，突出本土化和常识化

学生的现实包含生活现实、数学现实和其他学科现实等三个方面，在二次开发的过程中主要是突出数学素材的本土化和常识化。例如，方位的知识，仅用教科书进行教学，只是学会书本上的左东右西，而没有实际的体会。所以，教学时就应该把书本知识进行本土化，让学生学会现实生活具体的位置与方向。

数学的根源在于普通的常识，通过系统化和组织化，普通的常识将建立一个巨大的等级体系。学习的一个极端是没有被有意识地教的学习，另一个极端是被直截了当地强加的学习；第一种学习更深地扎根于以前的普通常识。普通常识最显著的例子是非负整数。［4］所以，教师的责任是积极寻求学生现实中“普通的常识”，把这些常识组织起来，通过反思，不断地进行系统化。例如，“笑笑打国内长途电话每分钟0.3元”，得出“打1分钟用0.3元，2分钟用0.6元，3分钟用0.9元，……”及其相应的乘法和除法算式，这对于每一个学生来说都是“普通常识”，把其中的除法算式组织起来进行反思，就得到“整数除法的商不变性质在小数除法也同样适用”的结论。由于这里的计算指向“3的乘法口诀”，整数的乘除法便是更大“普通常识”，系统的自组织发挥作用，小数除法的学习就变得更容易接受。

三、教学内容的设计可以增加弹性，全面贯彻落实课程标准

《义务教育数学课程标准（2011版）》指出，“教材内容设计要有一定的弹性”，并“考虑到学生发展的差异，在保证基本要求的前提下，可设计有一定弹性的内容，以满足学生的不同需求，使不同的人在数学上得到不同的发展”。作为教材内容的具体实施，教学内容的设计也可以增加弹性。

增加弹性内容的主要做法有：①就同一问题提出不同层次的要求，或设计开放性的练习；②结合学习内容有机地提供一定的阅读材料，包括史料、背景材料等；③特定教材所增加的内容要注重于介绍数学发展所依赖的数学基本思想；④设计一些课题活动，引导学生借助算盘、计算器等工具进行探索性学习。

例如，“数与形”（人教版六年级上册第107页例1）的素材是毕达哥拉斯及门徒的摆“单子”，这是数形结合的典型案例。以此史实为依据，教学可以这样设计：

以“数”化“形”，认识四角数。把自然数写成平方数即12，22，32，…引导学生自主用圆形、正方形、星形纸片表示平方数。反思摆“单子”的过程，从结果分析摆出的数是一个平方数，而从过程分析摆出的数是一个又一个的奇数，用算式表示：①1=12；1+3=22；1+ 3+5=32；…②最大的奇数是2n-1。

以“形”变“数”，认识三角数。（出示第109页第2题）若把上述的平方数称为四角数，这道题各图形表示是什么数？（三角数）。继续摆三角数，得出：第n个三角数的个数。

课外作业：阅读毕达哥拉斯摆“单子”的故事，了解五角数、六角数。

教学设计增加弹性的内容，其实质是拓宽“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”三维目标的实现之途径，因此，做好这方面的工作，就有利于在教学的过程中全面地贯彻和落实数学课程标准。

综上所述，教材的“数学方面”是课程的刚性要求，要认真领悟，而其“教育方面”则可根据实际教学的需要进行灵动加工。教材二次开发时要达到数学教育矛盾双方的恰当平衡，这是实现课程的整体目标的关键之所在。

［1］张维忠.数学文化与数学课程［M］.上海：上海教育出版社，1999.

［2］郑毓信.数学哲学与数学教育哲学［M］.南京：江苏教育出版社.2007.

［3］郑祥旦.利用连续性学习材料促进学生有效归纳［J］.福建教育，2009（5）.

［4］〔荷兰〕弗赖登塔尔.数学教育再探［M］.刘意竹，等，译.上海：上海教育出版社，1999.

（责任编辑：闽晓）