巢洪政

小学数学问题类型分析及教学启示

巢洪政

问题解决是小学数学教学中的重要内容和高层次的学习类型。小学数学问题一般可以划分为界定良好的问题和界定不良的问题、一般领域的问题和专门领域的问题、常规问题与非常规问题、封闭问题与开放问题等类型。在教学中，我们要重视学生解决常规数学问题的知识技能的教学，重视开放问题的教学，处理好常规问题与非常规问题教学的关系，从而不断优化小学数学问题解决的教学。

小学数学；问题解决；问题类型；教学启示

问题解决是小学数学教学中的重要内容和高层次的学习类型，对培养学生良好的数学素养具有重要作用。新课程背景下的小学数学，已经将过去的“应用题”扩展为“问题解决”。因此，我们应该在明确小学数学“问题”和“问题解决”概念的基础上，科学地界定小学数学问题的类型。如此，才能为小学数学问题解决的教学提供有益的启示，为教师科学地实施和优化小学数学问题解决的教学提供有效的帮助。

一、小学数学“应用题”与“问题”“问题解决”概念分析

周玉仁教授在《小学数学教学论》一书中指出：“应用题是根据日常生活和生产中的实际问题，用语言或文字表示数量关系并求解的题目。”“应用题”的名称大家都比较熟悉，就不多解释了。

“问题”是我们的日常用语，但在心理学中，“问题”具有特定的内涵。为了界定“问题”的概念，心理学家针对某一情境进行了如下区分：该情境的初始状态，想要达到的目标状态，阻止从初始状态转化为目标状态的障碍。并据此将“问题”界定为：在事物的初始状态和想要达到的目标状态之间存在的障碍。早在1945年，格式塔心理学家唐克尔就指出：“当一个有机体有个目标，但又不知道如何达到目标时，就产生了问题。”这个定义至今仍然具有使用价值。“问题”是一种相对存在。一道异分母分数加法题，对一位数学教师来说不是问题，但对第一学段的学生来说显然是一个问题，如果这位数学教师想依据低年级学生的知识水平来进行教学，如何设计教学就是这位教师面临的问题。这就是说，问题具有目标指向性。对于小学数学教学中的“问题”概念，笔者认为可以参照上面的含义进行理解。小学数学问题也是一种问题，具备问题的基本特性。所以，我们可以认为，小学数学问题是小学生数学学习过程中遇到的一切学习障碍。

有了对“问题”概念的认识，我们就可以顺利地理解心理学中对“问题解决”的定义。当代认知心理学家经过长期的研究认为：问题解决是指在某种情境的初始状态和期望达到的目标状态之间存在障碍的前提下，运用一系列认知操作，扫除障碍，将初始状态转化为目标状态的过程。周玉仁教授认为：“问题解决是指个体在一种新的情境下，根据获得的有关知识，对发现的新问题采用新的策略，寻求问题答案的心理活动。”“问题解决指的是学生初次遇到的新问题，这类问题并非是平时遇到的一般练习题……问题一旦解决，学生通过问题解决的过程所获得的新的方法、途径和策略便可作为认知结构中的一个组成部分，成为已知的解决其他问题的方法、途径……总之，所有的问题解决都应该具有以上的特点，否则就成为一种练习性的作业。”这里的问题既可以是纯粹的数学问题，也可以是以非数学题形式呈现的各种问题。这样的认识，就是新课程中对“问题解决”的认识。在有关小学数学教学论和课程论的专著中，其他专家也有类似的论述。

二、小学数学问题的主要类型

就小学数学问题解决中问题的类型，我们通常可以从科学心理学的角度进行如下划分:

1.界定良好的问题和界定不良的问题。

依据问题所给条件的明确程度，我们可以将数学问题划分为界定良好的问题和界定不良的问题。界定良好的问题又叫清晰的问题，是指问题的初始状态、目标状态和用于转换的方法均已清楚（即已经提供了解决问题所需要的全部信息）的问题。小学数学中的大部分问题都是这样的问题。界定不良的问题又叫模糊的问题，是指对问题的初始状态、目标状态和转换方法中的一项或几项缺乏明确的界定（即缺少解决问题的算子和限制条件）的问题。如：以点O为圆心画圆，这个圆是怎样的？由于这个问题没有规定半径的大小，虽然圆的位置确定了，但大小是任意的，所以它是一个界定不良的问题。在小学数学中，界定良好的问题大多表现为封闭的问题和常规的问题，界定不良的问题多表现为开放的问题。

2.一般领域的问题和专门领域的问题。

依据问题中包含知识内容的复杂程度，我们可以将数学问题划分为一般领域的问题和专门领域的问题。一般领域的问题又叫语义贫乏的问题，是问题解决者不具有与问题相关的专业知识的问题。专门领域的问题又叫语义丰富的问题，即知识含量高的问题，是指问题解决者具有与问题有关的专业知识的问题。如：对学生来说，数学乘法题“205× 38=”就是一般领域的问题；对数学家来说，“哥德巴赫猜想”就是专门领域的数学问题。

3.常规问题与非常规问题。

依据问题解决过程中的创造性程度，我们把数学问题划分为常规问题与非常规问题。常规问题是指运用已获得的知识经验，按现成的方案可以解决的问题，是学生使用已有的、一般的和通常的思路和方法可以解决的问题。在美国教育心理学家加涅的累积学习理论中，第七层次的学习类型，即应用已知的规则可以解决的问题就是常规问题。反之，不能应用现成的规则来解决的、学生首次接触的问题就是非常规问题，在加涅的理论中主要是指第八层次的学习类型，即高级规则的学习。非常规问题和常规问题之间是相互联系和相互转化的。例如：对于“甲乙两地相距850千米，一辆汽车以每小时75千米的速度从甲地开往乙地，现在剩下的路程比已经行驶的路程多100千米，这辆汽车已经行驶了多少小时？”这个数学问题，如果学生初次学习解答这样的问题，那么这个问题对学生来说就是非常规问题；如果学生解答类似问题的次数多了，而且对解题思路比较熟悉了，这个问题对他们来说就是常规问题了。

4.封闭问题与开放问题。

依据问题答案的数量，我们可以把数学问题划分为封闭问题与开放问题。只有一个确定答案的数学问题，称为封闭问题。答案不唯一，有多个甚至无数个答案的数学问题，称为开放问题。小学数学教材中的问题大多是封闭问题，这里就不举例了。而像这样的问题：小明用4个长7厘米、宽4厘米的小长方形拼成一个大长方形，可以怎样拼？请你先画出各种不同的拼法，再计算出拼成的长方形的周长。这个问题有三个不同的答案，所以，它是一道开放问题。

当然，如果我们根据某个数学问题是否存在确定的答案来划分，还可以把数学问题划分为有解题和无解题。有确定答案的数学问题称为有解题；没有确定答案的数学问题称为无解题。小学数学教材中的问题大都是有解题，而像著名的“船长年龄问题”，即“一条船上有75头牛，有32只羊，请问这条船上的船长年龄是多少？”就是无解题。

小学数学教材中出现较多的是界定良好的数学专门领域的问题，这些问题主要是常规问题和封闭问题。

二、小学数学问题类型分析的教学启示

1.要重视学生解决常规数学问题的知识技能的教学。

数学问题解决属于心理学中问题解决的范畴，其解答条件也需要符合问题解决的条件。

加涅的累积学习理论充分说明了基础知识等低级类型的学习对高级规则或问题解决（创造）的奠基作用。加涅被公认为行为主义和认知心理学派的折中主义者，他从各种理论流派中汲取他所需的成分，区分了不同条件、不同类型的学习。通过描述八个学习层次来研究学生理智技能的累积方式，这八个学习层次分别是信号学习、刺激—反应学习、动作链索学习、言语联想、辨别学习、概念学习、规则学习、问题解决或高级规则学习。后四类学习是学校教育的主要内容。加涅的累积学习理论还指出：人类的学习是累积性的，较复杂、较高级的学习是建立在基础性学习基础上的；每一类学习都以前面类型的学习为基础。从这里，我们可以明显看出基础性知识的学习对学生进行 “高级规则学习或问题解决（即创造）”的重要性。概念和规则的学习中有大量的知识，规则的学习中有许多技能的训练，学生利用习得的概念和规则解决了常规问题和非常规问题，就说明学生具有某些能力。

根据认知心理学的研究，学生的问题解决能力是由三种基本能力构成的：第一种能力是学生借助其认知结构中储存的问题图式，把新的问题情境纳入原有问题图式中，从而迅速理解问题的能力。第二种能力是学生运用认知策略，对新问题进行适当改编，使新问题情境适合原有问题类型图式的能力。第三种能力是执行解题的技能，在这里是指四则运算技能。第一种能力指的是知识，第三种能力指的是技能，可见，问题解决离不开知识和技能。如小学数学中有这样一个问题：南京长江大桥南、北两个桥头堡大约相距1573米。红红、军军分别从南、北桥头堡同时出发，相向而行，经过13分钟相遇，军军的速度是每分钟63米，红红的速度是多少？要解决这个问题，学生需要理解“南京长江大桥”“桥头堡”“南”“北”等名称和方向的知识，需要具备“相遇问题”的图式，还需要具有计算的技能，通过正确计算才能得出正确的结论，有时还需要借助“画图”的策略来分析问题。

从上述两个理论分析，我们可以明显看出：要培养学生创造性地解决问题的能力，离不开学生对基础知识、技能和常规问题的学习，因为这些是学生解决问题的基础。所以，在教学中，引导学生获得数学概念、掌握数学知识、培养运算能力和厘清数量关系，有助于他们创造性地解决问题，即有利于学生创造力的培养。

2.要重视开放问题的教学。

如前所述，我国小学数学教材中绝大多数是封闭的常规问题，对开放问题重视不够。我们的教材和教学今后应该作出一些调整，加强开放问题的教学。由于开放问题的解答步骤比较多，已经超出了课程标准的要求范围，因此，可以在每册教材中设置5道左右的开放题作为思考题。当然，在现行教材中，编入个别的无解题，笔者认为也是有必要的，这可以培养学生的批判性思维。

3.要处理好常规问题与非常规问题教学的关系。

在新课改初期，一些舆论批评我们的数学应用题教学中存在着套类型定解答模式的问题，即过分重视常规问题的教学，影响对学生创造能力的培养。其实，这样的指责也并非完全正确。因为常规问题与非常规问题是相互联系、不断转化的，某个新问题对于初学者来说是非常规问题，但他们接触这样的问题的机会多了，这类问题对他来说就可能成为常规问题了。而生活中的大多数问题是常规问题，大部分人学习数学将来需要解决的也多为常规问题，因此，常规问题也有一定的价值。有些常规问题对初学者来说也是具有挑战性的非常规问题。所以，我们要充分认识常规问题教学的重要性，小学生主要学习的应该是常规问题的解决，并兼顾非常规问题的学习。当然，在以前的教学中，我们对非常规问题多有忽视，这是值得我们重视的问题。另外，常规问题和非常规问题教学的过程也有明显的区别。非常规问题的教学应该重视学生的探究和实践活动，重视学生解决问题的分析过程；而常规问题的教学主要是让学生在明确某类问题特征和解答规律的基础上，通过分析数量关系和应用已有的规律进行解答。

综上所述，明确小学数学问题和问题解决的概念，掌握数学问题的类型，将有助于我们教学小学数学问题解决，从而不断优化小学数学解决问题的教学。

［1］辛自强.问题解决与知识建构［M］.北京:教育科学出版社，2005.

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G623.5

A

1005-6009（2016）36-0040-03

巢洪政，江苏省江阴市英桥国际学校（江苏江阴，214433），二级教师。