薛 双, 赵华新, 薛风风

(延安大学 数学与计算机科学学院, 陕西 延安 716000)



双参数有界算子C群的生成定理

薛 双, 赵华新, 薛风风

(延安大学 数学与计算机科学学院, 陕西 延安 716000)

在Banach空间上,根据双参数C半群的无穷小生成元与C群的性质,提出双参数有界算子C群的无穷小生成元是双参数有界线性算子在(0,0)处的全微分与C-1的积。定理1证明双参数有界算子C群的无穷小生成元的性质;定理2根据双参数有界算子C群的无穷小生成元的性质,提出线性变换是双参数有界算子C群的无穷小生成元的充要条件,即双参数有界算子C群的生成定理,并且给予证明。最后,总结双参数有界算子C群的性质,并且研究双参数有界算子C群有利于双参数C半群以及算子半群等在C群方向的进一步研究。

双参数; 有界算子C群;C半群; 无穷小生成元

0 引 言

算子半群理论的研究是近年算子理论研究的热点问题。在文献[1-3]中,赵华新等介绍了双参数C半群的生成元及其一些性质,文献[4]介绍了双参数C半群的性质,文献[5]证明了双参数C0有界算子群的性质,赵华新在文献[6]中提出了C半群的可逆性与C群概念,文献[7]给出了广义C0算子群,高峰在文献[8]中研究了广义C半群的生成元和性质,陈文忠在文献[9]给出了C-无穷小生成元的表示式。本文基于上述文献的研究,证明双参数有界算子C群的无穷小生成元的性质和双参数有界算子C群生成定理。

文中的空间X是Banach空间,所有的算子是有界线性算子,C表示X上的有界单射算子,B(X)表示X上所有的有界线性算子,D(A)表示算子A在X上的定义域,R2=(-∞,+∞)×(-∞,+∞)。

1 主要内容

定义1 在空间X上,若双参数有界线性算子{T(s,t)}s,t∈R满足以下条件:

1) T(0,0)=C

2) CT((s1,t1)+(s2,t2))=T(s1,t1)T(s2,t2),∀s1,s2,t1,t2∈R

3) 映射(s,t)→T(s,t)x 强连续,∀s,t∈R;∀x∈X

则称{T(s,t)}s,t∈R称为双参数有界算子C群。

定义2 双参数有界算子C群{T(s,t)}s,t∈R的无穷小生成元是T(s,t)在(0,0)处的全微分与C-1的积,记作(A1,A2)。

下面给出双参数有界算子C群的无穷小生成元的性质。

上式中的A1,A2分别是单参数有界算子C群T(s,0)s∈R和T(0,t)t∈R的无穷小生成元,满足

并且

证明 设映射T:R2→B(X),存在线性变换L,使得当(s,t)∈U(0,0) (点(0,0)的某个领域 )时,有

设A1,A2分别是单参数有界算子C群T(s,0)s∈R和T(0,t)t∈R的无穷小生成元。令

(1)

因为T(s,0)在(0,0)的一个领域中有界,故式(1)两边取极限(s,t)→(0,0)时有

所以有

故由定义2可得C-1d(T(s,t))|(s,t)→(0,0)=(A1,A2),即线性变换(A1,A2)是双参数有界算子C群{T(s,t)}s,t∈R的无穷小生成元。证毕。

上面证明了双参数有界算子C群的无穷小生成元的性质,下面给出双参数有界算子C群的生成定理。

2) (-∞,-ωj)∪(ωj,+∞)⊂ρ(Aj),j=1,2

4) D(A1A2)∩D(A1)=D(A1A2)∩D(A2)=D≠{0},

D(A1(λ0-A2))⊆D(A1A2),∀λ0∈ρ(A2);A1A2x=A2A1x,∀x∈X

证明 必要性

设v=(m,n)∈R2,S(h)=T(hv)

(2)

充分性

所以A1,A2是闭稠定算子,由条件(2)、(3)得A1,A2是满足条件|T1(s)|≤M1e|ω1|s,|T2(t)|≤M2e|ω2|t的单参数有界算子C群T1(s)s∈R,T2(t)t∈R的无穷小生成元。

又由于A1,A2满足条件(4),当x∈D时,T1(s)s∈R与T2(t)t∈R可以交换。

s→(s,0),t→(0,t)是单射,可以把T1(s)看做T(s,0),T2(t)看做T(0,t),则T(s,t)=C-1T(s,0)T(0,t)是满足‖T(s,0)‖≤M1e|ω1|s,‖T(0,t)‖≤M2e|ω2|t,即

的双参数有界算子C群,其无穷小生成元是(A1,A2)。证毕。

3 结 语

文中主要介绍了双参数有界算子C群的无穷小生成元的性质和双参数有界算子C群的生成定理,有利于以后关于双参数C半群、算子半群及C群等性质的研究。

[1]徐敏,赵华新,赵拓. 双参数C半群的一些结果[J]. 沈阳师范大学学报(自然科学版), 2013,31(3):363-366.

[2]徐敏,赵华新,赵拓. 双参数C半群 Yosida逼近的应用[J]. 江西科学, 2013,31(5):580-582.

[3]徐敏,赵华新,赵拓. 双参数C半群的生成元及其性质[J]. 河南科学, 2013,31(8):1-4.

[4]黄翠,王彩侠,张明翠,等. 双参数C-半群[J]. 纯粹数学与应用数学, 2013,29(3)299-305.

[5]蔡亮,宋晓秋,李玉霞. 双参数C0有界算子群[J]. 黑龙江科技学院学报, 2011,21(1):77-80.

[6]赵华新,李晓爱.C-半群的可逆性与C-群[J]. 延安大学学报(自然科学版), 1997,16(2):10-13.

[7]刘瑞,赵华新,马强强,等. 广义C0算子群[J]. 延安大学学报(自然科学版), 2009,28(4) :23-31.

[8]高峰,赵华新. 广义C半群的生成元和性质[J]. 沈阳师范大学学报(自然科学版), 2012,30(2):137-140.

[9]陈文忠.C-无穷小生成元的表示式[J]. 厦门大学学报(自然科学版), 1993,32(2):135-140.

Generation theorem of two parameter bounded operatorCgroups

XUEShuang,ZHAOHuaxin,XUEFengfeng

(College of Mathematics and Computer Science, Yan’an University, Yan’an 716000, China)

According to the property of the infinitesimal generator of two parameterCsemigroups andCgroups in the Banach Space, it is introduced that the infinitesimal generator of two parameter bounded operatorCgroups is the multiplication of the total differential of two parameter bounded operator at(0,0)andC-1. It proves the property of the infinitesimal generator of two parameter bounded operatorCgroups in the theorem one. Then, according to the property of the infinitesimal generator of two parameter bounded operatorCgroups, that linear transformation is the necessary and sufficient condition of the infinitesimal generator of two parameter bounded operatorCgroups, namely the generation theorem of two parameter bounded operatorCgroups, is obtained in the theorem two. Finally, it is summarized that the property of two parameter bounded operatorCgroups. And the study of two parameter bounded operatorCgroups is favorable for the further study of two parameterCsemigroups andCgroups.

two parameter; bounded operatorCgroups;Csemigroups; infinitesimal generator

2014-12-09。

陕西省教育厅专项科研计划项目(2013JK0570)。

薛 双(1990-),女,陕西清涧人,延安大学硕士研究生; 通信作者:赵华新(1964-),男,陕西延长人,延安大学教授。

1673-5862(2016)01-0041-04

O177.2

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.01.010