蔡磊

编者按：

新课程教育教学实践仍在如火如荼地进行着，新的课程理念也渐渐被广大教师所熟悉，并努力将其落实到教育教学实践之中，“课程意识进课堂”已经成为有识之士的自觉选择，也成为有志于数学教育事业、为学生终身发展而教的广大年轻教师的追求方向。为了引导广大教师让数学课程意识走进课堂，并努力使之落实到位，从本期开始，将陆续刊登一些关于“课程意识进课堂”的思考性、探索性文章，以引起讨论与交流，并分享收获与喜悦。

在新课程实施的浪潮中，课程意识常被提起又常被遗忘，应试技能偶被冲击又常唱主角。笔者一直在想，两者之间真的水火不容吗？为什么课程专家再三提倡课程意识，而老师们却在应试技能上乐此不疲呢？可能是各有“道理”吧。带着此问题，笔者粗略地涉猎了一些专家振聋发聩的精辟分析与解说，反思了自己的教学理念与行为，觉得自己的见解浅薄，有点急功近利。应试技能虽然表面上、短时间可以见到所谓立竿见影的效果，但从长远看，学生并不能在真正意义上有大的收获，因为我们的注意力仅仅在分数与细枝末节的技巧上，这就注定了只能带来这样的浅近结果。当然，我并非说，成绩分数与能力品质并重的人寥寥无几，真思考、真探索、真实践的一定大有人在，我应当要向他们学习。由此，笔者开始了自己的一些探索性努力。笔者认为，教育教学过程中，应试与素养两者不仅不相互排斥，而且可以做到水乳交融，他们的融合可用两句话来概括：做应做事，做本分事。前者说的是教育教学的理念与原则，后者说的是教育教学的实践与方针。下面，笔者就结合自己在2015年江西省“赣教杯”高中数学优秀教学课例展示活动中所执教的北师大版《数学4》（必修）《两角差的余弦函数》第一课时中的教学设计与实施的过程片段，谈点自己粗浅的想法和做法。

一、 做应做事，恰当设计教育教学过程

做应做事，简单来说，就是指教师要有课程意识，并将课程意识贯彻到教育教学的各个环节之中。要以教材内容为课程的基本素材，以学生为发展的基本对象，不是简单地教教材上的知识点，而是应深刻领会课程内容与意图，深入挖掘教材中所包含的教育因素、数学思想与方法，然后根据学生的知识准备水平与接受能力等情况，选择恰当的教学方法，充分发挥学生的主体性与主动性，实施有效教学，实现课程目标。用一句通俗的话说就是“课堂教学应给学生‘带得走’的东西”，即使学生短期和长期都受益的东西，也更多的是能力与情感态度方面的东西。

具体到高中数学上，就是要注重培养学生的理性精神、探究精神、实事求是的科学态度等，要重视数学思想方法的教学和数学能力的培养，当然也切不可忽视知识与技能的教学，它是能力与素养的基础，所谓“基础不牢，地动山摇”，说的就是这层意思。

再具体到本节课“两角差的余弦函数”内容，其安排在三角函数和平面向量之后学习，既是培养学生沟通知识联系、推导任意两角差的余弦公式，运用两角差的余弦公式进行简单的化简、求值，又是培养学生由特殊到一般、体会向量工具的威力与作用，更是学生经历真实探究过程、培养锲而不舍的钻研精神的良好机会，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。

基于上述考虑，笔者设计了两组问题，作为课程展开的基本线索。第一组问题是：

问题1：cos（45°-30°）是多少？

问题2：如果将45°，30°换成一般的锐角α，β，同学们能否探究cos（α-β）等于什么吗？

问题3：两个向量夹角的范围是多少？任意两角差的范围是多少？

问题4：当π<α-β≤2π时，上面探究出的两角差的余弦公式还适用吗？

问题5：当α-β在其他范围内，上面探究出的两角差的余弦公式还适用吗？

本组问题主要用于“任意两角差的余弦公式”的探究、获得过程，方法层面上是由特殊到一般、类比推进，内容层面上是环环相扣、层层递进，具有一定的挑战性。这样既源于学生的已有知识和经验，又着眼于学生的最近发展区；既让学生经历适当的困难，体验真实的探究过程，更使得知识的学习与思维的发展有了稳定的落脚之处。

本组问题主要解决公式的使用问题，即通过公式的顺用、逆用、巧用，培养学生解决问题的能力。两组问题紧密相连，不仅增进了学生自主探索、发现规律、以所知解决未知的能力，更让学生收获了探索与成功的喜悦，增强了学习信心与兴趣，培养了学生数学观察与用化归数学思维解决问题的能力。

二、做本分事，有效实施教育教学过程

做本分事，简单来说就是在课程目标、课程理念的指导下，教师做好教师分内的事情：不仅要做好示范、点评与讲解，而且要做好引导、点拨与激发；学生做好学生分内的事情：不仅要做好听、记、做，而且要做好思、议、说。教师不仅要在数学语言的精准上、数学本质的领悟上，而且要在课堂节奏的把控上、调整上做到位，学生不仅要有静思时间、交流时间，而且更应在生生互动、师生互动上做到充分到位。即各自应做好自己分内的事情，互相配合到位，而不能越位。

有效教学含义丰富，简单来说就包括学生的积极参与、教师的耐心引导及师生间的有效互动，从引入到内容主体，从语言到多媒体辅助，从静思到交流互动，从错误到正确，从知识到思想，从体验到喜悦，学生都应当成为学习的主体、活动的主体、发展的主体，教师只起着促进的作用，从而使教学更为有效。认知心理学认为，学习是一种主体参与情境而持续建构的过程，学习是作为主体的学生亲力亲为的事情，教师不能取代学生的学习，教师的作用在于引起学习、持续学习与促进学习。

下面是第一组问题探索过程中的教学过程片段，一个同学见到问题1时，不假思索地脱口而出：cos15°=cos（45°-30°）=cos45°-cos30°=。其他同学马上指出：计算结果不对，中间推导没有根据。教师肯定了这些同学对“没有根据妄作推理”这一非理性行为的批判性态度，但又认为，错误中难道没有合理的成分吗？比如，他把不会求的15°的三角函数值，转化为能求的45°、30°的三角函数值的想法或许有价值，我们应当感谢这一想法的精彩贡献（此时掌声响起，气氛活跃）。怎样进一步探求呢？教师启发道：前面我们学习了哪些有关的知识呢？这些知识能否为我们所用呢？能否将未知转换为已知呢？同学们很快地想到可考虑借助单位圆，将15°理解成两个向量的夹角，新的思路便初露端倪了。拾阶而上，由特殊到一般，就将探求cos（α-β）的问题摆在了面前，解决问题的方法也由隐而露了。在完成当α-β∈[0，π]，两角差的余弦公式时，师生共同明晰了两向量夹角范围是多少？任意两角差的范围是多少？在此基础上，进一步提出问题，激发探究愿望：在π<α-β≤2π时，刚才探究出的公式是否依然成立呢？这样由浅入深，由近及远，循序渐进，学生经历了真实探索、全程探索的过程，收益颇丰。

另一方面，在探索性教学过程中，有一个问题特别重要，教师要让全体学生真正经历而不是虚假经历探索的过程，不能急，要慢，要慢慢地等待，要有耐心。正如《教育是慢的艺术》一文所指出的：“教育，是一种慢的艺术。慢，需要平静和平和；慢，需要细致和细腻；慢，更需要耐心和耐性。教育，作为一种慢的艺术，需要留足等待的空间和时间，需要有舒缓的节奏。高频率，快节奏，大梯度，不利于学生的有序成长和发展。”教师要给足学生思考的时间与空间，让学生经历思考、操作、交流与消化，容许并提倡学生之间进行讨论与交流，大胆表达与思维碰撞，教师所做的就是耐心地等待与观察。反之，急于求得公式结果及使用公式，则大大地丧失了本内容的数学教育价值，舍本求末，丢失了西瓜捡取了芝麻。笔者在教学中也多次使用了教学等待。例如，在上述推导公式的探究过程中足足用了20分钟。

再者，笔者也觉得展评典型非优解法是培养、发展学生思维能力的好途径，同时也是慢的艺术的一种体现。例如，在解决第二组问题时，笔者在巡视、等待、观察学生的计算过程与结果后，发现很多学生直接利用两角差的余弦公式将已知式展开，结合公式sin2？兹+cos2？兹=1，消去sin？兹，可是由于数字比较繁琐，很多同学在顺用公式时算了很久也没有得到结果。此时，笔者并没有马上在黑板上给出此题的简洁解法，而是启发：“还记得我们刚才在求解cos15°时，将这个未知的单角拆成已知的两角差吗？”一些同学听到此话，静思一会儿后，发现了待求角和已知角之间的关系，露出了兴奋、喜悦的样子。这样同学们经历了发现，收获了喜悦，体会到了化归思想方法的威力。之后，笔者选择做对的（公式巧用）和没有解出来的（公式顺用）的典型代表，将他们的作品拿到展台投影，和同学们一起点评，不足之处，用红笔改正。大家个个沉浸在探索、互动、兴奋的氛围中，虽然下课了，学生们仍兴趣盎然。