李东方　刘会彩

摘 要：本文给定两个Hermite矩阵A、B 以及它们的特征值，给出了乘积矩阵AB 的跡的一些不等式，进而得到矩阵之和A+B 的一些特征值不等式。以及通过研究正定Hermite矩阵Schur 补的迹和特征值的性质，得到了正定Hermite矩阵和的Schur 补与正定Hermite矩阵Schur 补的和的迹和特征值之间的不等式.

关键词：Hermite矩阵，特征值， 矩阵的迹，Schur补

众所周知对于矩阵特征值估计的研究无论是在理论上还是在应用上都有极其重要的意义，且已有大量的研究文献。

1 预备知识

定义1 设矩阵 ，若 （ 是指 的共轭转置），则称A 为Hermite矩阵。

定义2 称为矩阵A 的迹。

定义3 如果非负矩阵A 的所有行和以及列和均为1，就称A 是双随机矩阵。

定义4 设 表示n ×n 阶矩阵. 是非奇异主子

阵， 我们称 是A 关于 的Schur 补，记为 .

引理1 矩阵 为Hermite矩阵，则A 的所有特征值都是实数。

引理2 矩阵 为Hermite矩阵，其特征值为 它们按任意规定的次序排列，则存在一个酉矩阵 ，使得

引理3 矩阵 为双随机矩阵，当且仅当对某个 存在置换矩阵 和正纯量 ，使得 ，且 .

引理4 设 为一置换， 为按递增顺序排列的两个数列，则有： .

引理5 设 是正定矩阵，若 ，那么 .

引理6 若存在非奇异阵 使得 ，那么

证明 因为

所以

引理7 若A ≥0 ， B ≥0 ，那么A + B ≥0

引理8 若 是半正定Hermite矩阵， 是 非奇异主子阵，那么 半正定.

证明 设 ，取 ，有

因A 半正定， 由引理6 ， 知 半正定.

2 主要结果

定理1 设A， B 均为n ×n Hermite矩阵，它们的特征值分别依次从大到小排列为： ，则有

证明 A 为正定Herm ite矩阵时， 由于A， B 均为n ×n He rmite矩阵， 则分别存在酉矩阵W， V 使得：

则：

记 ，易知U仍为酉矩阵，故有：

由 知 是双随机矩阵，记Ω为……