河北乐亭第一中学 邵敬毅

利用导数构造函数证明不等式

河北乐亭第一中学 邵敬毅

导致 不等式 构造函数

不等式的证明有多种方法，以下是我在学习导数时掌握的一种证明不等式的新方法——构造函数法.应用这种方法证明不等式需要仔细观察定义域，找准关系，看清条件，分析特征，利用导数判断函数单调性求最值、极值等.该类题目可以考查我们对于函数知识的灵活运用能力，可谓全面而细致，巧妙而成形.

一、构造函数F（x）=f（x）-g（x），证明F（x）≥0

当 x∈（1，+∞）时，F'（x）>0，函数F（x）在（1，+∞）上单调递增.

∴g（x）>f（x）.

∴在（1，+∞）上，f（x）的图像在g（x）的图像下方．

解题心得：要证明F（x）≥0，可通过构造函数F（x）=g（x）-f（x），从而将不等式证明问题转化为函数的最值问题，通过证明[F（x）]最小值≥0，使问题得以解决.

二、作差后局部构造函数

(1)求l的方程；

（2）证明：除切点（1，0）外，曲线C在直线l的下方．

∴直线l的方程为y=x-1.

∴当0

当x>1时，g'（x）>0，g（x）单调递增．

∴当x=1时，g（x）有最小值g（1）=0，

∴g（x）≥0(当且仅当x=1时取等号).

∴除切点（1，0）外，曲线C在直线l的下方．

解题心得：通过局部构造函数，可以使复杂问题简单化，步步为营，各个击破，最终使问题得以解决.

三、取对数后构造函数

例3已知函数f（x）=x-(x+1)ln(x+1)

求：(1)f（x）的单调区间；

(2)证明：当n>m>0时，（1+n）m<（1+m）n．

解：(1)f'（x）

令f'（x）>0得：-1

令f'（x）<0得：x>0，

∴f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为（0，+∞）．

(2)要证（1+n）m<（1+m）n，

由(1)知：

f（x）在（0，+∞）上单调递减，

∴当x>0时，f（x）

即：x-（1+x）ln（1+x）<0.

∴g（x）在（0，+∞）上单调递减.

∵n>m>0， ∴g（n）

从而有：（1+n）m<（1+m）n．

解题心得：通过对要证不等式（1+n）m<（1+m）n的分析，通过两边取对数，可以使表达式的函数特征更加明显，从而实现从不等式证明到判断函数单调性的转化.

四、从条件特征入手构造函数证明

例 4 已知f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf'（x）+f（x）≤0.对任意正数a，b，若a

A.af（b）≤bf（a）

B.bf（a）≤af（b）

C.af（a）≤bf（b）

D.bf（b）≤af（a）

解：xf'（x）+f（x）≤0圯[xf（x）]'≤0，

∴ 函数F（x）=xf（x）在（0，+∞）上为常函数或单调递减．

又∵0

∴af（a）≥bf（b）>0，①

∴af（b）≤bf（a），故选A．

解题心得：由函数在某区间导数值的正负判断可判断原函数在该区间的单调性，由此可联想到[xf（x）]'=xf'（x）+f（x），使问题得到初步的解决，此外，本题还综合考查了不等式的性质.