姜 文 英

(衡水学院　数学与计算机学院，河北　衡水 053000)



一道高等代数习题的推广和应用

姜 文 英

(衡水学院数学与计算机学院，河北衡水 053000)

摘要：对线性空间的讨论不仅要从整体上把握其结构，更要从局部—线性子空间的角度来分析讨论．利用集合与线性空间的相关知识，将高等代数中的一道习题结论进行了推广和证明，并进一步探讨了该结论的应用．

关键词：线性空间；线性子空间；向量

北京大学数学系几何与代数小组编的《高等代数》(第三版)有如下一道习题：

证明用数学归纳法．

当s =1时，由V1是非平凡子空间知，存在向量，结论成立．

假设s= k 时结论成立，则s= k +1时，有V 的k +1个非平凡子空间，由归纳假设至少有一个向量α不属于中任何一个．如果，则结论成立．如果，取，考虑k +1个向量的向量组，其中必有一个向量不属于这k 个子空间中的任何一个．否则至少有两个向量同属于某一个，从而这两个向量的差也属于Vj，这与α∉Vj矛盾．于是中有向量，不妨设为γ=lα+β不属于中任何一个．

又由α∈Vk+1，β∉Vk+1，知γ∉Vk+1，命题得证．

命题3[2]设是数域P上n 维线性空间V 的任意s 个非平凡子空间，证明存在V的一组基，使这组基的n 个基向量均不在中．

最后，存在αn∈V，使，且线性无关，因此得到V的一组基，使其每一个基向量都不在中．

上述结论说明，线性空间V不能简单地被有限个真子空间所覆盖，于是命题2可简单地叙述成下面的定理．

定理 (覆盖定理)数域P 上的有限维线性空间V 不能被它的有限个真子空间覆盖，即不存在真子空间……