2015年新课标高考概率与统计试题分类评析

2016-03-11吕大军

高中数理化 2016年1期

◇北京吕大军

统计与概率都是研究随机现象的学科.统计侧重于从数据分析来刻画随机现象,概率侧重于建立理论模型来刻画随机现象.

概率统计学的基本知识和思想方法是现代公民必备的数学素养.在现代信息社会中,统计与概率在日常生活、社会经济及各学科的应用日益广泛,使学生具备基本的统计与概率的思想、方法和知识解决有关应用问题,无疑是高考考查的重点.

统计内容考试要求是,理解随机抽样的意义与方法,会作出各种统计图表并进行分析;理解用样本估计总体的思想,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征;会利用散点图认识变量间的相关关系;了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程;了解一些常见的统计方法,了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用.

概率内容考试要求是,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,理解频率与概率的区别;了解2个互斥事件的概率加法公式,了解条件概率和2个事件相互独立的概念,理解古典概型及其概率计算公式,了解几何概型的意义;理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,理解超几何分布、n次独立重复试验的模型及二项分布,理解离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差.

1对统计相关知识的考查

这类试题一般以实际问题为背景,考查抽样方法、统计图表、用样本估计总体、线性回归、相关性检验等统计基础知识,考查考生收集、整理分析数据,做出推断与决策的能力.

例1(课标Ⅱ卷) 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万t)柱形图.以下结论不正确的是().

图1

A逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著;

B2007年我国治理二氧化硫排放显现成效;

C2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势;

D2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

由柱形图得,2006年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,故年排放量与年份负相关,故选D.

本题考查考生通过读图获取信息、利用统计相关知识进行分析并得出正确结论的能力.

例2(安徽卷)若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为().

A8;B15;C16;D32

本题主要考查样本的方差与标准差公式与应用,要求学生会灵活利用公式进行计算与推理.

2对古典概型与几何概型的考查

这类试题考查必然事件、随机事件、基本事件、等可能性等概率基本概念;古典概型是考查的重点,理科会结合计数原理的相关知识综合考查;几何概型试题一般属于容易题,也可能结合其他章节的相关知识进行综合考查.

例3(广东卷) 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球．从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球、1个红球的概率为().

本题考查计数原理的相关知识、古典概率的计算,属于容易题.

例4(陕西卷)设复数z=(x-1)+yi(x、y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为().

本题综合复数、不等式的相关知识,考查几何概型的计算,体现各知识间的交会.

3对离散型随机变量及其分布列的考查

这类试题主要考查离散型随机变量及其分布列,考查离散型随机变量的均值(数学期望)与方差.试题一般以实际问题为背景,事件与概率、计数原理等知识都可融入这类试题中,因此试题的综合性较强.读懂题目,理解实际问题中蕴含的数学意义是解题的关键.

例5(新课标Ⅰ卷)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为().

A0.648;B0.432;C0.36;D0.312

此类题考查独立重复试验、互斥事件概率公式,要求学生熟知几种基本的概率模型.

例6(广东卷)已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=________.

依题意可得E(X)=np=30,且D(X)=np(1-p)=20,解得p=1/3.

本题考查二项分布的性质,重点考查二项分布中随机变量的均值与方差公式.

例7(福建卷)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.

(1) 求当天小王的该银行卡被锁定的概率;

(2) 设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X,求X的分布列和数学期望.

(2) 依题意可得,X所有可能的取值是1、2、3. 又

所以X的分布列为

X123P161623

在求基本事件的个数时,要准确理解基本事件的构成,这样才能保证所求事件包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性.

4对统计与概率的创新性问题的考查

统计与概率是应用数学,要突出应用性.设计新颖的实际背景、提出有具体意义的实际问题(不是直接求均值、求方差等),是创新问题设计的出发点;与其他数学知识相结合突出其应用性,加深对统计与概率的理解,也是解答问题的关键点.

例8(北京卷)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙3辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是().

图2

A消耗1L汽油,乙车最多可行驶5km;

B以相同速度行驶相同路程,3辆车中,甲车消耗汽油最多;

C甲车以80km·h-1的速度行驶1h,消耗10L汽油;

D某城市机动车最高限速80km·h-1,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油

由题目中给出的“燃油效率”的定义, 乙车消耗1L汽油,最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值, 其明显大于5, 故选项A错误; 以相同的速度行驶相同的路程, 甲燃油效率最高,所以甲车最省油,故选项B错误;C中甲车以80km·h-1的速度行驶1h,甲车每消耗1L汽油行驶的里程10km,行驶80km,消耗8L汽油,故选项C错误;某城市机动车最高限速80km·h-1, 由于丙比乙的燃油效率高,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选D.

本题考查了考生对统计图表的阅读理解能力. 要求考生会提取信息, 并利用“燃油效率”这个新定义进行数据加工,从而得出正确的结论.在统计中,要注重考查常用的数据处理方法.

例9(安徽卷) 已知2件次品和3件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测1件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.

(1) 求第1次检测出的是次品且第2次检测出的是正品的概率.

(2) 已知每检测1件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望).

解法1(1) 设“第1次检查出的是次品且第2次检测出的是正品”为事件A，得