朱胜强

问路时，有人告诉你“向东走500m”。这里，“向东”指的是方向，“500m”指的是行走的路程，也就是大小。数学中我们把既有大小又有方向的量称为向量。

物理中的力、速度、位移、加速度、电场强度、磁感应强度等都是向量。或许我们觉得奇怪：向量怎么会与物理中的许多概念有密切联系的呢？如若追根溯源，则会发现向量其实起源于物理中的力学。

早在古希腊，著名学者亚里士多德就知道力可表示成向量形式，两个力的组合作用可用平行四边形法则来得到。1788年，法国数学家、物理学家拉格朗日在《分析力学》中把带有方向的物理量数学化，即用数学方法来表示它们，但拉格朗日没有使用“向量”一词。直到1844年，德国数学家格拉斯曼才引入有向线段的概念，称之为向量，并引入向量的一般运算法则。

从向量的定义可感受到其双重身份。方向反映的是几何特征，而大小则是数量特征。因此，向量概念本身便是一个数形结合体。

向量可以运算，如我们所知道的线性运算与数量积运算。当见到下面一系列等式

-（-n）=n；

a+0=0+a=a：

（a+b）+c=a+（b+c）；

a-b=a+（-6）；

λ（a+6）=λa+λb；

（a+6）²=a²+2a·b+b²；

（a-b）·（a+b）=a²-b²，

要不是向量独特的表示方式，我们几乎就把它当成了数。这与我们平常熟知的代数恒等式是多么相似！

或许正是向量拥有的这种可贵的代数属性成就了其非凡的品质。当已知两个向量后，我们并不需要知道它们对应的几何对象，便可以依据既有的规则进行运算，得到相应的结果。这纯粹是代数运算。但每一向量又有具体的几何含义，依托向量的运算，便可以建立起几何图形之间的某种内在联系。因此，我们在研究几何问题时，不再非得依赖于全等、相似等关系，不再非得绞尽脑汁地添加辅助线。问题的答案或许就在一系列向量运算所得的结果中。这种颠覆了传统习惯的思维方式，充分展示了其数与形双重身份的魅力，使其成为解决问题的强有力的工具。

问题

求证：三角形的三条高线交于一点。

已知△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，D，E，F分别为垂足。AD，BE相交于点O。

求证：直线CF过点O（如图1）。

分析 只要设法证明CO⊥AB即可。

所以三角形的三条高线交于一点。

通过向量运算成功解决了形的问题，思路十分简洁。用平面几何的方法，却比较复杂。不信你可以试试。

当我们用向量工具解决问题时，常会有一种困惑：问题中涉及许多向量，究竟哪些向量是更值得关注的呢？平面内虽有无穷多的向量，但它们之间存在着一定的联系。

如共线向量，若已知一个非零向量a，则所有与a共线的向量，都可以表示为λa。这样，只要知道一个非零向量，就可表示出所有与该向量共线的向量（如图2）。

然而，平面内不同直线的方向是无穷的，按如上所述仍要涉及无穷多个向量。是否能用有限的向量来表示平面内的所有向量呢？平面向量基本定理告诉我们，只要两个不共线的向量就足够了。定理是这样的：

如果e₁，e₂是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ₁，λ₂，使

a=λ₁e₁+λ₂e₂。

我们把不共线的向量e₁，e₂叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（如图3）。

这样，在平面内，只要选两个不共线的向量作为基底，其他的向量都可以用这两个向量线性表示。这就可以使原本复杂的问题得以简化。

如果再进一步考虑选择一些特殊的基底，则问题还会得到进一步简化。比如，选择两个互相垂直的向量作为基底，这样的基底也称为正交基底，甚至选择两个互相垂直的单位向量作基底，这样的基底也称为单位正交基底。这时，用基底表示的各向量间的运算也会变得十分简洁。

假如研究是在平面直角坐标系中进行的，则可选择x轴方向与y轴方向上的单位向量i，j作为基底。这样，坐标平面中的任一向量a均可表示为a=xi+yj，也可以简记为a=（x，y）。这就是向量的坐标表示。

许多工具，在前人刚刚发明创造出来的时候肯定不是现在这个样子，工具总是在运用的过程中不断获得改进，使它变得更好用、更适用，有更为强大的功能。向量的产生与发展不也如此吗？