刘顿

苏科版《数学》九年级下册第121页第14题：

如图1，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距60 m，在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为30°，测得铁塔顶部的仰角为45°，求铁塔的高度.（精确到1 m）

【分析】若设过点A的水平线与CD交于点E，由建筑物AB与铁塔CD相距60 m，铁塔顶部的仰角为45°，可以构造出等腰直角三角形，即塔比建筑物高60 m，从建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为30°，从而利用正切求出建筑物的高度，进而得到铁塔高度.

解：设过点A的水平线与CD交于点E，

由题意，得∠AEC=∠AED=90°，

∠CAE=45°，∠DAE=30°，AE=BD=60（m），

∴CE=AE=60（m）.

在Rt△AED中，

∴AB=DE=AE·tan30°

=60×=20（m）.

∴CD=CE+AB=60+20≈95（m）.

答：铁塔CD的高度为95 m.

【评析】这是一道典型的锐角三角函数应用题，它的原题或模型出现在各个版本的教科书和资料中，不仅如此，它的原题或模型还频频出现在中考试卷中.为方便同学们的学习，现归纳几例，供参考.

一、 简单改变有关数据

例1 （2015·安徽）如图2，平台AB高为12米，在B处测得楼房CD的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度.（≈1.7）

【分析】过点B作BE⊥CD于点E，构造直角三角形，先求CE，DE，再求CD及近似值.

解：过点B作BE⊥CD于点E，

在Rt△EBC中，

∵tan30°=，CE=AB=12，

∴BE==12，

在Rt△BDE中，

∵tan45°=，

∴DE=BE=12，

∴CD=CE+DE=12+12≈32.4（米）.

答：楼房CD的高度约为32.4米.

【点评】此类问题容易出错的地方是：一是不能把实际问题转化为几何问题；二是特殊角三角函数值记忆错误.如果能联想到课本习题，我们将十分容易地找到解决问题的切入点.

二、 求两幢建筑物之间的距离

例2 （2015·昆明）如图3，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=15 m，CD=20 m，AB和CD之间有一景观池，小南在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°（点B、E、D在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD.（结果精确到0.1 m，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）

【分……