王竞进

问题 如图1，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）.

A. 2 B.

C. D.

【分析】本题是2015年山西省的一道中考试题，以格点为问题背景构造一个锐角，考查同学们对锐角三角函数概念的理解、掌握和灵活应用.由于题中给出了点A、点B和点C，因此先不考虑取其它点，而是利用现成的点，尝试连接AC，从图形的直观性上初步判断∠BAC可能是直角，再用勾股定理及其逆定理进行验证，最后根据正切的定义计算即可.

【解答】如图2，连接AC.

由勾股定理得：

AB2=22+22=8，AB=2，

AC2=12+12=2，AC=，

BC2=12+32=10，

∴AB2+AC2=8+2=10=BC2，

∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，

∴tan∠ABC===.

因此，本题应该选D.

【感悟】要求以格点为背景的锐角三角函数值，我们仍然要根据锐角三角函数的概念，使所求的锐角化归到直角三角形中加以解答.有的锐角可以直接放到一个直角三角形中，有的锐角需通过构造一个直角三角形，使其成为这个直角三角形的一个锐角，也有的锐角借助与其所在的三角形全等或相似的三角形进行转化，成为另一个直角三角形的一个锐角，再加以解答.现再举几例供大家学习、参考，以期同学们形成良好的解题策略.

例1 如图3，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是（ ）.

A. B.

C. D.

【解析】观察图3，可以发现∠AOB的一边OB恰好在这个正方形网格的网格线上，可直接过点A作OB的垂线AC，垂足为C，即可构造直角三角形（如图4），因此，tan∠AOB==.所以，本题应该选B.

【点评】本题中设置的∠AOB没有放到一个三角形中，解答时要能够抓住角的一边所在的特殊位置构造直角三角形，并应用正切概念求得结果.

例……