圆锥曲线中最值问题的求解策略

张自鹤

(甘肃省临泽县第一中学，734200)

圆锥曲线中的最值问题是解析几何中常见的问题,是高考的热点问题,也是难点问题之一.解决这类问题的常用策略主要有:圆锥曲线定义转化法、切线法、参数法、函数法和基本不等式法．

策略1定义转化法

定义转化法就是根据圆锥曲线的定义,把所求的最值问题转化为平面上两点之间的距离、点到直线的距离等等,这是求圆锥曲线最值问题的基本方法,其关键是用好圆锥曲线的定义.

例1已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值及此时点P的坐标.

分析由定义知,抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离d,从而求|PA|+|PF|的问题可转化为求|PA|+d的问题.

解将x=3代入抛物线方程y2=2x

评注圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线问题的重要指导思想.用定义转化法求最值,特别适合求与曲线上的点到焦点距离有关的问题,其根据就是椭圆或双曲线上的点到两焦点之间有着固定的规律,以及抛物线上任意一点到准线的距离与到焦点的距离相等．

策略2参数法

参数法就是根据曲线方程的特点,用适当的参数表示曲线上的点的坐标,把所求最值问题归结为求解关于这个参数的函数最值的问题.这种方法的要点是选取合适的参数表示曲线上点的坐标．

评注解析几何中的圆、椭圆、双曲线上的动点都可以以角为参数来表示；抛物线上的动点可以以一个变量为参数,从而把问题转化为利用求三角函数或变量表示的函数的最值的方法来求解解析几何的最值问题．

策略3切线法

当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线(或直线上的点)的距离的最值时,可以通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线,则两平行线之间的距离就是所求的最值,切点就是曲线上取得最值的点,这种方法称为切线法．

分析曲线上的点到直线的距离通常都可以转化为点点距、点线距或线线距来完成．本题可通过直线逼近作切线,把问题转化为线线距来完成．

评注切线法的基本思想是数形结合,在使用切线法时要注意画出草图,根据图形确定何时取得最值．

策略4基本不等式法

基本不等式法就是先将所求的最值用变量表示出来,再利用基本不等式求这个表达式的最值,这是求圆锥曲线中最值问题时应用最为广泛的一种方法．

(1)求曲线C的方程及t的值;

分析第(1)问可依条件,构建关于p,t的方程求解;

问题(2)需建立直线AB的斜率k与线段AB中点坐标间的关系,并表示出弦AB的长度,运用函数的性质或基本不等式求最大值.

∴抛物线C的方程为y2=x.

又点M(t,1)在曲线C上,∴t=1.

(2)由(1)知,点M(1,1),从而n=m,即点Q(m,m).

依题意,直线AB的斜率存在,且不为0.

设直线AB的斜率为k(k≠0),且A(x1,y1),B(x2,y2).

x-2my+2m2-m=0.

y2-2my+2m2-m=0，

所以Δ=4m-4m2>0,解得0

又y1+y2=2m,y1y2=2m2-m，

≤m+(1-m)=1,

∴d的最大值为1.

评注利用基本不等式法求最值的关键是用合适的变量表示出所求的目标,然后利用基本不等式求得这个目标函数的最值.在使用基本不等式求最值时要特别注意使用条件,特别是等号能不能取到以及所建立的目标函数中的变量受什么因素的制约等．

策略5函数法

函数法就是先把所求的最值表示为关于某个变量的函数,然后通过研究这个函数的的最值来求出所要的最值,这是求解各类最值问题最为普遍的方法,其关键是建立函数关系式．

(1)求直线l的方程和抛物线C的方程;

(2)当抛物线上一动点P从A到B运动时,求∆ABP面积的最大值.

(2) 因为A、B为定点,所以|AB|为定值,所以当点P到直线的距离最大时,∆ABP的面积最大,故只需求点P到直线的距离最大即可；同时还要注意当动点P从A到B运动时,动点P的坐标受限制,故在求最值要考虑坐标的取值范围．

解(1)直线l的方程为:y=2x-2,抛物线C的方程为:x2=-2y(过程略)．

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).

∵|AB|为定值,∴当点P到直线的距离最大时,∆ABP的面积最大.

∴当P点坐标为(-2,-2)时,

∆ABP面积的最大值为

评注函数法是高中数学中广为应用的一种方法.用这种方法求圆锥曲线中的最值问题时,关键是要选用一个适当的变量,先用这个变量来表达要解决的问题,这个变量通常选用直线的斜率、截距、点的坐标等；同时还要特别注意所建立的函数关系式中自变量的取值范围,这些范围就决定了函数的最值,在解题时要予以充分的考虑．