程，许雪

(湖北大学数学与统计学学院,湖北 武汉 430062)



AQSI序列部分和与乘积和的强大数定律

(湖北大学数学与统计学学院,湖北 武汉 430062)

摘要：研究AQSI序列部分和与乘积和的强大数定律，得到不同分布AQSI序列部分和与乘积和强大数定律成立的充分条件.

关键词：AQSI序列;部分和;乘积和;强大数定律

0引言

定义1[1]称随机变量序列{Xn,n≥1}是渐近象限次独立(asymptotically quadrant sub-indenpendent, AQSI)的，若存在正数序列{q(m),m∈N},满足m→∞时，q(m)→0,且对任意i≠j均有

P(Xi>s,Xj>t)-P(Xi>s)P(Xj>t)≤q(|i-j|)αij(s,t),s,t>0,

P(Xi

其中αij和βij是非负函数.

AQSI序列的概念是由Chandra和Ghosal[1]首先提出的，由AQSI序列的定义可知AQSI序列是包含独立序列的一类非常广泛的随机序列.由于AQSI序列条件较弱，因此研究也较为困难，所获结果也不太多.Ghosal等[2]讨论了AQSI序列加权的Marcinkiewicz-Zygmund型强大数定律和加权和的强大数定律，唐键等[3]研究了AQSI序列的几乎处处收敛性和强大数定理.本文中研究了AQSI序列部分和与乘积和的强大数定律，得到不同分布AQSI序列 部分和与乘积和强大数定律成立的充分条件.文中C是正的常数，在不同的地方可取不同的值.对随机变量序列{Xn,n≥1}及a>0,恒记Yn(a)=-aI(Xn<-a)+XnI(|Xn|≤a)+aI(Xn>a).

1引理

为了得出本文中的主要结论，本节先给出一些相关的引理.

引理1[1]设{Xn,n≥1}是AQSI序列，如果{fn,n≥1}是非降(或非增)函数，则{fn(Xn),n≥1}仍然是AQSI序列.

引理2[4]对任意的实数列{xn,n≥1}, 及对任意的n≥m≥1,有

引理3[5](推广的Borel-cantelli引理)设{An,n≥1}是事件列:

2主要结果及证明

(i) 对任意的i≠j有

(1)

(ii) 对任意的i≠j有

(2)

于是

同理可得

Xn-EXn=Yn-Zn,

又因为

为证

只需证明

以及

由于

(3)

又因为

(4)

又由条件(iii)有

(5)

推论1的证明由条件(i)知

(6)

即可.

(i)gn(x)在(0, ∞)内单调不减,且当0

(ii)

同时当p∈[1,2)时,若有

(7)

以及

(8)

则

(9)

进一步我们有,对任意的m……