吴 杉，余盛利，汪金汉

（1．湖北师范大学计算机科学学院，湖北黄石435002；2．湖北师范大学数学与统计学院，湖北黄石435002）

一个不等式的证明及其推广

吴 杉1，余盛利2，汪金汉2

（1．湖北师范大学计算机科学学院，湖北黄石435002；2．湖北师范大学数学与统计学院，湖北黄石435002）

对于高等数学教材数学分析中的一个不等式，用两种初等数学的方法给出了证明．将此不等式的右边变形后，又得到两个不等式，而且与普通高中课程《不等式选讲》［4］中的不等式建立联系，并对这些不等式做了六个推广．

对称性；排序不等式；推广

在高等数学教材数学分析［1］中，对于一个初等的幂不等式，是根据凸函数的性质，利用詹森（Jansen）不等式给出的证明．本文首先用两种简单的初等数学方法给出了该不等式证明；其次将此不等式的右边变形后，又得到两个不等式，其中把一个不等式与普通高中课程标准实验教科书．数学．不等式选讲［2］中的不等式建立联系；由于例1、例2、例3中三个不等式左边都相同，在判断它们右边幂的乘积式大小时，例4中的（3）（ii）借助于Mathematic5．0软件编程数据测试，而得到了一组数据．最后对这些不等式做了六个推广．

在数学分析［1］中给出了一个证明幂不等式的例题：

例1 设a，b，c∈ℝ＋，求证aabbcc≥（abc）

证法1（用詹森Jansen不等式） 设f（x）＝xlnx，x＞0．由f〃（x）＝＞0，（x＞0），知f（x）＝xlnx在x＞0时为严格凸函数，依詹森不等式有

注：这里是高等数学中构造凸函数，利用函数的凸性，借助于詹森（Jansen）不等式和平均不等式得到证明．

下面给出两种初等数学的证明方法。

证法2（商值比较……