周其生

(安庆师范大学数学与计算科学学院，安徽安庆246133)

如何掌握好“实变函数”中的“几乎处处”概念

周其生

(安庆师范大学数学与计算科学学院，安徽安庆246133)

“几乎处处”是“实变函数”课程中测度和积分理论中的一个重要概念。本文就如何正确理解这一概念以及它与连续、收敛相联系的有关概念做了阐述和辨析，并通过举例说明如何利用函数几乎处处相等来计算积分。

几乎处处；测度；积分；连续；收敛

虽然在实变函数课程中“几乎处处”的定义不如勒贝格测度、勒贝格积分等概念重要，但却是勒贝格测度和积分理论中一个重要的组成部分，要学好这门课程，必须很好地掌握这个概念。下面从几个方面谈谈如何理解和运用“几乎处处”概念。

1 “几乎处处”定义

定义1[1-3]设有一个与集合E⊂Rn中的点x有关的命题P（x）。若除了E中的一个零测集以外，P（x）皆为真，则称P（x）在E上几乎处处是真的，或称P（x）几乎处处于E。

学习这个概念时，要抓住命题是关于E中的点的命题，如函数在E上有限、连续、相等、大于等等是关于点的命题，因此可以说某函数在E上几乎处处有限、几乎处处连续，两函数在E上几乎处处相等，但函数在E上有界、一致连续、可测、可积等，不是关于E的点的命题，而是关于E的整体概念。比如说，函数f（x）在E上要么可测，要么不可测，不能说f（x）在E上几乎处处可测。

也有人把f（x）在E上除去一个零测集后有界，称为f（x）在E上几乎处处有界，这容易引起概念的混淆，因为有界不是关于“点”的命题。但可以将这种情形表示为│f（x）│＜M几乎处处于E。……