马芙玲

(中山火炬职业技术学院公共课部，广东中山528436)



一类广义弱压缩条件的同伦不动点存在性定理

马芙玲

(中山火炬职业技术学院公共课部，广东中山528436)

[摘要]在偏序度量空间中引入了广义弱压缩映射条件，证明了同伦不动点的存在性定理，推广了原有的某些结果.

[关键词]偏序度量空间; 广义弱压缩条件; 不动点; 偏序集; 线性映射

1引言

度量空间不动点存在性问题已有比较完善的结果，这些结果在许多理论研究和实际应用中起到了重要作用. Matlhews(1994)[1]提出了偏序度量空间的概念，它是度量空间的推广，是一个不要求p(x，x)=0的广义度量空间，有着重要的意义.随着对该空间的深入研究及现实应用的需要， Ran和Reuring(2004)[2]对偏序度量空间不动点的存在性问题进行了卓有成效的研究，得到了一类广义弱压缩映射在拓扑同伦方面的不动点存在性定理.然而，他们的条件十分苛刻.基于偏序度量空间不动点的存在性问题有着重要的理论意义和实际应用价值，本文将尝试在更弱的条件下来讨论偏序度量空间不动点的存在性问题.

2预备知识

(i) p(x，x)=p(y，y)=p(x，y)当且仅当x=y；

(ii) p(x，x)≤p(x，y)；

(iii) p(x，y)=p(y，x)；

(iv) p(x，z)≤p(x，y)+p(y，z)-p(y，y).

序对(X，p)叫做偏度量空间，p叫做偏度量.在下文中，如无特殊说明，指的是(X，p).

注1Abbas和Nazir(2012)指出，若p(x，y)=0， 则由(i)和(ii)可推出x=y.

注2邻域Bp(x，ε)={y∈X;p(x，y)0可以生成一个拓扑τp.

注3如果(X，p)为一个偏度量空间，则会诱导一个度量

pS(x，y)=2p(x，y)-p(x，x)-p(y，y)，

故(X，pS)为一个度量空间.

定义2.2[3]X是一个偏序度量空间：

这样，偏度量p是完备的.

命题2.3[3]若X是偏序度量空间，因此

(X，p)是完备的当且仅当(X，pS)是完备的.

定义……