宁荣健，余丙森

(合肥工业大学数学学院，安徽合肥230009)



基于分布函数的混合型随机变量数学期望和方差的计算

宁荣健，余丙森

(合肥工业大学数学学院，安徽合肥230009)

[摘要]在文献[1]的基础上，利用分布函数，介绍一种适合工科概率论教学的混合型随机变量的数学期望和方差的计算方法.

[关键词]分布函数； 混合型随机变量； 数学期望； 方差

1问题的提出

在工科概率论的教学过程中，我们介绍了下列例题.

例设随机变量X~U[-1，2]，Y=max{X，1}，求EY和DY.

解由题意知X密度函数为

利用一维连续型随机变量函数的数学期望计算公式得

故

但是，有些学生求得Y的分布函数为

似乎得出Y的密度函数为

目前诸多工科概率论与数理统计教材中，只给出了离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望定义及相关计算，对于混合型随机变量的数学期望并没有介绍，使得在教学中有所欠缺.

事实上，对于任意的随机变量X，其分布函数

F(x)=P{X≤x}，x∈R

完全反映了其分布情况，包含了分布的所有信息，自然也确定了其数学期望是否存在，以及数学期望存在时数学期望的取值.那么如何利用分布函数F(x)来研究X的数学期望呢？

在文献[1]中，通过Lebesgue-Stieltjes积分给出了任意随机变量数学期望的一般定义.

并且文献[1]还给出了下列结论.

特别地

因此

显然定义1和定理1中的Lebesgue-Stieltjes积分的计算很不方便，因此需要寻求一个适合工科教学的、通俗易懂的随机变量数学期望和方差的计算方法.

2主要结论

定理2[1]设随机变量X的分布……