段晓君，杨文强

(国防科技大学理学院， 湖南长沙410073)



概率统计课程的递进式多层次实践教学模式分析

段晓君，杨文强

(国防科技大学理学院， 湖南长沙410073)

[摘要]提供了概率统计课程的一种递进式多层次实践教学机制设计方法，核心是在课堂教学过程中贯穿理论讲授与实践训练相融合的思想，提升学生的理解深度和应用能力，激励学生的创造力.递进式实践教学分三个层次：基础实验、专题应用、基于建模的拓展研究，分别考虑课程内容覆盖性、难点应用、综合平衡能力提升，进行递进式训练，以达到提升学生实践认知，加强其应用概率统计解决问题的创新性与综合性能力.

[关键词]概率统计; 实践教学模式; 多层次递进方法

1引言

概率论与数理统计是研究随机现象的学科，从内容到方法与其它数学课程有显著不同，其教学思想也与学生在以前接触过的绝大多数数学课程存在较大差异[1].课程目的是通过理论学习和实践教学，使学员掌握概率论的思想、随机变量、各类概率分布、统计数据收集描述与解释、分析及推断等基本理论与方法，学会运用概率统计的观点进行思考，并解决实际工作中的概率统计问题.

概率统计是数学中与现实世界联系最紧密、应用最广泛的学科之一.教学过程中可以引入许多非常有趣和实用的建模例子，一旦学生从实例中认识到这一概念在实际生活中的重要性，缓解了对于新概念的恐惧，就会产生求知欲从而积极地学习[2-3].概率统计实践教学对于提升学生对概率的理解深度、对统计的应用能力，进一步激励学生的创造力非常重要.我们的主要做法是：设计概率统计课程的递进式多层次实践教学机制，核心是在课堂教学过程中贯穿理论讲授与实践训练相融合的思想，创造一个多层次的实践环境去夯实学生的基础知识，并诱导学生的学习欲望，培养他们的自学能力，增强他们的数学素质和创新能力，强调的是获取新知识的能力，是解决问题的过程，而不是知识与结果，更重要的是激发学生探求解决问题的兴趣.

本文介绍了递进式实践教学的三个层次及特点，并提供了相应的案例分析，展示解决问题的过程中如何夯实学生的概率统计基础，激发学生的兴趣，提升数学认知，加强学生应用概率统计知识解决问题时对创新性与综合性等的全局把握感和平衡感.

2递进式案例教学的三个层次

递进式实践教学分为三个层次：

(i) 基础实验;

(ii) 专题应用及提升;

(iii) 基于建模的拓展研究.

可通过不同层次的内容逐步培养学生通过概率统计建模解决实际问题的能力.

第一个层次的实践设计内容主要考虑课程基本内容的覆盖性；第二个层次的实践设计内容主要针对难点进行专题应用和深入理解；第三个层次的实践教学属于综合和平衡性环节，需结合科研及建模问题进行问题征集、案例筛选、应用及反馈，基于实际问题的提出，结合探寻解决手段、批判思考、方案选择、数据统计分析及归纳总结的过程，可提升学生对实际问题进行概率统计建模、进行适应性解决的能力.

递进式实践教学的三个层次及功能相关关系如下图所示：

图1　递进式实践教学的三个层次

三个层次的实践教学互为补充，层层递进，逐步提升难度，可为学生提供多维度的实践训练。最高层次的基于建模的拓展研究属于弹性教学内容，可根据不同学生的学习基础在选材和教学方法上进行优化选择.

3基础实验实践教学

传统课程教学往往较多地注重数学公式的推导与演算能力的培养，而实际上，仅仅通过学生交流、板书授课、黑板做题以及多媒体演示是不够的.学生也希望有更多机会了解和体验与理论概念知识相关的实际背景.基本概念体验实践教学就是通过上机实验，让学生直观了解概率论与数理统计的一些基本思想和方法，深化学生对概率统计理论的理解.

数学实验主要是以计算机数学软件的应用为平台，结合数学模型，模拟实验环境进行的教学模式.基础实验实践教学强调对基本教学内容的覆盖性，即随机变量、分布函数、数字特征、极限理论、基本统计数据的收集与描述、抽样与抽样分布、方差分析和实验设计方法、常用的参数检验和非参数检验方法、线性回归方法等都有涉及.在教学中我们设计了相应的数学实验[4]：抛硬币实验、“蒲丰投针”试验、正态分布密度函数的实验、二项分布的正态逼近、Monte-Carlo仿真、直方图的实验、t分布与标准正态分布的比较、无理数e的随机特征、无理数π的随机特征与Pearson拟合检验、假设检验、一元线性回归等，让学生自己动手，运用Mathematica、Matlab、SPSS等工具，观察实验结果，促使学生加深了对概率统计课程理论知识的理解和感性认识，使学生直观地感受到概念发生的过程，理解其本质，同时通过将理论教学与实际案例有机地结合起来，收到了良好的教学效果.

以蒲丰投针实验为例，蒲丰投针实验是著名的利用几何概率求圆周率的实验.这个实验给出了一个全新的利用概率思想计算π的近似值的方法，后来这种方法发展成为利用计算机模拟解决数学和物理问题的重要方法之一:蒙特卡罗方法.

蒲丰投针实验的操作方法：在一张白纸上画上一组间距为a的平行线，然后多次地将一根长为b的针随机投掷在纸上(b

p=2b/aπ.

(1)

当实验次数很大时，由贝努利大数定律知，频率m/n就接近概率p，由此就可算出π的近似值.学生从这个实验中可以体会概率的基本概念和大数定律的特点.

4专题应用及提升实践教学

在概率统计课程教学中可以吸收和融入与实际问题有关的应用性专题，向学生展示本课程在工农业、军事、经济管理、医药、教育等领域中的应用，穿插数据模拟、统计推断、数据拟合等方面的专题题目，让学生在教师的指导下通过实际动手，学习如何将实际问题数学化，如何利用概率统计工具解决实际问题，增强实践动手能力，学以致用.

第二个层次的实践设计内容主要针对难点进行专题应用和深入理解.如下面以我们采用的三个典型教学案例进行阐述.

(i) “哈里斯投标”问题：哈里斯是一位经验丰富的工程承包商，在一次工程招标中，哈里斯根据经验发现可将其他竞争对手的竞价假定为服从均匀分布，问哈里斯出价多少才能最大化他的收益.

投标竞标本身是一个常见的经济活动，来源于真实的生活实践，便于激起学生的好奇心与兴趣；收益最大化也是每个经济活动中每个企业或个人都关注的典型问题；在此问题中，考察的数学期望、均匀分布等连续型分布等概念和定义理解，同时在解题过程中需要用到随机变量二阶中心矩为方差与均值平方之和以及二次函数极值求解等技巧，多知识点综合很好体现了案例的浓缩性.在“哈里斯投标”案例的教学过程中，学生均表现出浓厚的学习兴趣，迫切想知道哈里斯出价多少才能最大化收益.

(ii) “奥运会金牌预测”问题：题目给出了1900年至2004年24届奥运会各东道国获得金牌数以及该国家四年前非东道国参赛时获得的金牌数，预测2008年北京奥运会中国代表团获得金牌数.

利用最小二乘方法预测得出2008北京奥运会中国代表团获得金牌数为49枚，同时可计算出95%置信区间为[41.4,57.5]之后本届奥运会真实获得为金牌数51枚，与预测结果非常接近.

(iii) “雷达测量数据分析”问题：为鉴定2台新购测速雷达的测量精度，设计如下的鉴定试验.利用两台测速雷达对某一运动目标进行速度测量，然后将测量结果与目标的真实速度做差，差值称为测量残差.通过分析测量残差的统计特性，可获得以下知识：

① 该测量设备是否有系统性的测量误差？若已知该型号的测速雷达，其系统误差只可能是常值或线性的，那么如何利用线性回归方法得到其测量系统误差的表达式；

② 该测量设备测量随机误差的概率分布如何？可通过直方图拟合的方式判断测量随机误差是否服从正态、对数正态等随机分布，也可进一步用正态性检验方法判断.

③ 若该测量设备的测量随机误差是服从正态分布的，其分布的方差是多少？测量误差的方差反映了该测量设备的测量精度.

该问题综合了概率分布与统计回归的专题知识.这样的题目非常吸引学生，激发学生思考与求知的兴趣.

5实际建模中的概率统计拓展实践及分析

素质教育的主旋律之一是创新意识与创新能力的培养.创新意识与创新能力的强弱已经成为人们评价人才培养质量的重要依据.实际建模问题没有标准答案，解决方法的不唯一性使得学生的创造性有很大的发挥空间.要引导学生从不同的角度、用不同的方法去解决同一个问题，形成良好的发散思维习惯，就必须提供相应的训练环境.

我们在实际科研中收集相应的概率统计相关问题，对学生进行相应的概率统计拓展实践训练.此外，还可从大学生数学建模竞赛题目选择涉及概率统计知识较多的问题，比如：超市排队等候问题、彩票问题、电力市场的输电阻塞管理问题、眼科病床的合理安排等，都不同程度地涉及常用分布与统计推断的知识[5]，将这些问题也融入概率统计的实践教学中.

以下以导航定位的完好性机制为例，介绍相应的实际研究建模的概率统计拓展实践.

完好性是指导航系统在不能使用时及时向用户发出告警的能力，是衡量卫星导航系统可靠性的重要指标[6,7].

(i)完好性告警机制的理解与风险的分配

设问：如何设计完好性告警机制？

可先介绍背景.完好性异常分为三类：系统相关，环境相关，用户端相关.为简化问题，考虑系统导致的完好性异常.系统导致的完好性异常指的是导航系统中的操作控制系统出现的异常.具体来讲，诸如时钟错误，不适用模型，主控站异常，卫星不稳定性的影响都属于系统导致的完好性异常.定位域上的完好性风险分为四类：无故障或单一故障失效模式，非局部完好性分发失效模式，多重故障失效模式，接收机失效模式等.

问题：如何将不同类型的故障失效模式都综合为用户能识别的定位错误风险？

解决此问题涉及故障误差的概率分布及转化.

(ii)系统级完好性监测的设计

设问：如何理解现有不同类型的完好性监测机制？

背景介绍：

目前不同导航系统的系统级完好性监测有不同的设计机制.美国的GPS系统将完好性风险限值在水平和垂直方向分解分别计算保护水平，完好性风险是完好性方程的输入变量，水平和垂直保护水平是输出变量；欧洲的Galileo系统计算基于给定告警限值的完好性风险，水平和垂直方向告警限值是完好性方程的输入变量，完好性风险是输出变量.

问题1： 不同机制的优缺点如何比较？

问题2： 由于空间信号误差分布不是严格的高斯分布，只能用高斯分布去近似逼近约束.这里分布约束(overbound)的概念和近似逼近的特点是什么？

定义1一个随机变量A的分布被随机变量B的分布约束是指对任何的 L≥0都有

P(|A|≥L)≤P(|B|≥L).

(iii)多导航系统的融合机制的设计

问题：由于系统的完好性运行机制不同，在用户能够同时接收到来自不同系统的导航数据和完好性数据时，如何实现多个系统的完好性数据处理的兼容性？

这个问题比较难，需要的背景知识比较深.提问之后可以给学生介绍一下目前的实际解决思路.

从实际科研建模问题出发，可以促进学生对所学所用知识的准确理解与掌握，也突出对实际问题本质的透彻理解与把握.通过针对性实践训练，可加强学生应用概率统计知识解决问题时对创新性与综合性等的全局把握感和平衡感.

6小结

概率统计是高校教学中一门非常重要的数学基础课，如何设计教学实践环节是国内高校共同面对的问题.本文在教学的课堂实践经验的总结分析的基础上，提出了递进式多层次实践教学的设计理念，在教学过程中将课堂理论教学与实践训练有机融合，为提升学生的应用能力创造一个多层次的教学环境，并诱导学生的学习兴趣， 培养他们的自学能力，增强他们的数学素质和创新能力，可达到较好的教学效果.我们运用这些教学方法，在实践中已经取得一些成效.当然，概率统计课程的实践教学模式仍是一个需要继续努力的研究课题，需要在实践中不断积累经验和提升.

[参考文献]

[1]金治明， 李永乐. 概率论与数理统计[M]. 北京: 科学出版社， 2007.

[2]Stillman G A. Applications and modelling research in secondary classrooms: What have we learnt?[C]. 12th International Congress on Mathematical Education Program， COEX， Seoul， Korea，2012.

[4]国防科学技术大学概率论与数理统计国家精品课程申报网站，http:∥jpkc.nudt. edu. cn/gltj/index.asp.

[5]李晓毅， 徐兆棣. 概率统计教学与数学建模思想的融入[J]. 沈阳师范大学学报(自然科学版)， 2008， 26(2): 245-247.

[6]Mozo A C， Hernández M M， Romay. Galileo Navigation and Integrity Algorithms[C]. ION GNSS 2005，Long Beach California，U.S.A， Proceedings of ION GNSS 2005:1315-1326.

[7]Hernández C， et al. Galileo Integrity: The Ground Segment Computation Algorithm Perspective[C]. ION GNSS 2006. Fort Worth， TX， U.S.A， Proceedings of ION GNSS 2006， 2006:2634-2645.

Progressive Multi-Level Practice Teaching Pattern Analysis

on Probability and Statistics Course

DUANXiao-jun，YANGWen-qiang

(College of Science， National University of Defense Technology， Changsha 410073， China)

Abstract:One kind of progressive multi-level practice teaching pattern on probability and statistics course is designed in this paper. The key is combining different-level practice with theoretical teaching to improve the comprehension and stimulate the creativity of students. The progressive practice teaching is classified three levels， basic experiment， special subject， extensible research on modeling. The three levels aim to consider the integrity of basis contents， the difficulty topic training， the synthesis flexible application， in order to enhance the practice cognitive ability and strengthen the innovation and balance ability of students.

Key words:probability and statistics; practice teaching pattern; multi-level progressive method

[基金项目]国防科技大学研究生数学公共课及专业课一流课程体系建设项目

[收稿日期]2014-10-12

[中图分类号]O29

[文献标识码]C

[文章编号]1672-1454(2015)02-0039-05