韩茂安，李继彬

(1.上海师范大学数学系,上海200234；　2.浙江师范大学数学系,金华321004)



关于解的延拓定理之注解

韩茂安1，李继彬2

(1.上海师范大学数学系,上海200234；2.浙江师范大学数学系,金华321004)

[摘要]在数学专业的常微分方程课程里有关解的存在唯一性、解的延拓和解对初值与参数的连续性构成了微分方程最基本的理论，这部分内容既是常微分方程的重点，又是该课程的难点.本文的目的是对解的延拓定理所涉及的概念和论证进行系统的梳理和完善，并希望能够弥补微分方程教材中的有关不足.

[关键词]延拓; 李卜希兹条件; 饱和解

1解的存在与唯一性定理

考虑标量微分方程

(1)

其中f为定义于下述矩形区域：

R∶|x-x0|≤a,|y-y0|≤b

(2)

上的连续函数(其中a与b为两个正数)，且存在常数L, 使对一切(x,y1),(x,y2)∈R成立

|f(x,y1)-f(x,y2)|≤L|y1-y2|.

如所周知，上述不等式称为李卜希兹条件. 熟知的Picard存在唯一性定理可叙述如下.

定理1在上述假设下微分方程(1)存在唯一的定义于区间[x0-h,x0+h]且满足初值条件y(x0)的解, 其中

上述定理是解的存在唯一性最经典的结果，在许多常微分方程教材中都有证明，见[1]-[16].

下面，我们讨论定义域更一般的标量方程. 首先给出区域的概念. 按照数学分析教材所定义的，如果一平面点集G可以写成一个非空连通开集和该开集的部分边界点的并，就说集合G是一个区域. 按照这个定义，区域可以开的(如果它是连通开集)，也可以是闭的(如果它是某一连通开集和该开集所有边界点的并) 也可以是非开非闭的. 例如，式……