朱建华，赵　微，孟新柱

(山东科技大学数学与系统科学学院， 山东青岛266590)



等周问题求解新探索

朱建华，赵微，孟新柱

(山东科技大学数学与系统科学学院， 山东青岛266590)

[摘要]将实型Fourier级数延拓成复型Fourier级数，利用复型的Fourier级数和数学分析中的格林公式以及参数方程，借助Parseval等式，对等周问题进行求解.

[关键词]复型Fourier级数； 参数方程； 等周问题； Parseval等式

1引言

等周问题最早是由著名数学家Joham Beynoulli在1679年提出的， 即在具有定长的一切平面单纯闭曲线中， 圆是最大面积的曲线.在随后的300多年里，人们围绕等周问题开展了深入的研究与讨论， 并将其称为等周定理(等周不等式).现在比较典型的三种证明方法分别是1902年Hurwitz给出的第一个解析证明、1939年Schmidt的证明和1978年苏步青教授在文[1]中介绍的改良后的Hurwitz方法(即用Fourier级数的方法).近年来， 国内学者在等周问题的研究和拓广方面取得了一些新的进展，一般都是以Fourier级数为基础，对前人的方法进行改进[2-4].本文是在刘深泉[5]老师启示下，参考姚渊[6]等作者的方法，在他们的基础上，将实型Fourier级数延拓成复型Fourier级数，利用复型Fourier级数以及参数方程、格林公式以及几何知识对等周问题做进一步证明.

2主要内容

引理2(Parseval等式)如果f(x)，g(x)∈L2(T)，并且

则有

参考文献其具体的证明方法可以参照[7]中的证明.

首先利用参数方程，把平面曲线L的参数方程表示为

使其满足

L是光滑曲线，那么曲线的总长度为

因为L所形成的闭区域是单连通的，所以利用格林公式

取Q=x，P=-y.那么

为了计算方……