李小光

(西安航空学院理学院， 陕西 西安 710077)



一类单位圆上单叶正则函数的分类

李小光

(西安航空学院理学院， 陕西 西安 710077)

摘要：为研究单位圆上单叶正则函数的性质。运用单叶解析法得到零点处函数值等于零、导数值等于1的函数具有的一些重要性质，给出这些性质的分类，分别是：幂级数展式的系数估计、模的估计、像区域范围的估计。单叶正则函数的性质及其分类是研究复变函数几何理论的基础，对复变函数基础性研究具有一定的现实意义。

关键词：单叶解析; 系数估计; 模的估计; 像区域范围的估计

定义1 令n=1,2,…，对于k=1,2,…,n，称

τk(t)=

(1)

为deBranges函数[1]。其中(a)v是a(a+1)…(a+v-1)的缩写。

如果令τk+1(t)≡0，则有

(2)

还可以得到[1]

τk(0)=n+1-k

(3)

τ′(t)<0, 0

(4)

(5)

1系数的估计

|cn|≤n, (n=1,2,…)

(6)

|c2|≤2

(7)

(8)

证明设圆周|z|=ρ<1由w=f(z)=

(n=1,2，…)

(9)

f(z,t)=etz+…(z∈D), 0≤t<+∞

(10)

使f(z,0)=f(z)，且

(11)

其中χ(t)在0≤t+∞连续，且|χ(t)|=1。

适合f(D)/J的函数f在S中就D内局部一致收敛来说是稠密的，因此仅需对这些函数证明式(9)。

(12)

(13)

记b0(t)=0，

(14)

由式(14)得

(15)

令n=1,2,…固定,考虑

t<+∞)

(16)

其中τk(t)是deBranges函数。

2模的估计[6-8]

记z=reiθ，则上述不等式可写为

(17)

又因为lnf′(z)=[|lnf′(z)|+iargf′(z)][3]

即

(18)

(19)

由式(17)-(18)，可得到下列定理

定理6(变形定理)设f(z)在|(z)|<1上单叶解析,f(0)=0，f′(0)=1,则

(20)

(21)

(22)

同理在式(18)两边从0到r积分得

(23)

沿着直线从0到z对式(11)的右边积分

考虑圆周|z|=r上的像点w，将w=0与w以直线段连接，这条直线段的原像是L，则

综合以上积分得到

(24)

3像区域范围的估计

定理7 (面积掩蔽定理)[10]设函数f(z)=

证明如果点c不在w=f(z)的像区域B内，则函数

推论1[11]如果f(z)在|z|<1上单叶解析，f(0)=0，在圆|z|<1上不取数值c，则f′(0)≤4c。

参考文献：

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[8]谢云鹏. 基于包含度的模糊不定性度量[D].西北大学,2008:18-28.

[9]姚炳学.群和环上的模糊理论[M].北京:科……