郭丽娟，朱维钧，王俊俊

(平顶山学院数学与信息科学学院，河南 平顶山 467000)



时标上一类具有振动系数的三阶半线性时滞动力方程的振动性分析

郭丽娟，朱维钧，王俊俊

(平顶山学院数学与信息科学学院，河南 平顶山 467000)

摘要：研究时标T上具有振动系数的三阶半线性时滞动力方程的有界振动性。利用算子和积分技巧给出了该类方程不存在A型解(或B型解)的判定条件，拓展了一些已知的三阶动力方程振动性的结果.

关键词：振动系数；有界振动性；A型解；B型解；动力方程；时标

1引理

时标上的动力方程不仅能够统一微分方程和离散方程，还能揭示更为复杂的动力系统，其振动解和非振动解问题在近年受到广泛关注[1-8]。陈大学[1]利用Riccati代换给出了时标上一类二阶非线性动力方程的有界振动性准则，罗李平等[2]利用算子和积分技巧给出了一类三阶非线性时滞微分方程不存在A型解(或B型解)的判定条件。 本文利用文献[2]中的技巧讨论方程

q(t)f(t,y(t-δ))=0，

(﹡)

其中t∈T0=[tx,∞]∩T,T为任意时标，且supT=∞。设γ为奇正整数的商数且γ≥1,τ和δ是正常数，且τ(t)=t-τ

设以下条件在本文中成立

(H2)f∶T×R→R是一个连续函数使得uf(u,f)>0,u≠0，并且存在一个定义在时标上的非负函数

q(t)，使得|f(u,t)|≥q(t)|ur|;

定义算子

L0y(t)=y(t)+p(t)y(t-τ),L1y(t)=r(t)[L0y(t)]Δ，

则方程(*)可化简成

L3y(t)+q(t)f(t,y(t-δ))=0。

引理1.1若方程(*)最终无振动解，则(*)的有界解只有两种情况：

A型：y(t)Liy(t)>0,i=0,1,2,y(t)L3y(t)<0，

B型：y(t)L0y(t)>0,y(t)L1y(t)<0,y(t)L2y(t)>0,y(t)L3y(t)<0。

证明：由假设，y(t)最终是(*)的非振动有界解，则不妨设t1>t0>T,满足y(t)>0。显然，L0y(t)>0，否则

L0y(t)=y(t)+p(t)y(t-τ)<0，

也即

p(t)y(t-τ)=L0y(t)-y(t)<0。

又y(t-τ)>0，则p(t)<0，此与p(t)是振动函数矛盾，则L0y(t)>0。

又由

L3y(t)=-q(t)f(t,y(t-δ))≤-q(t)m(t)yβ(t-δ)<0，

事实上有L2y(t)>0，否则，设L2y(t)<0,∃t1,满足t>t1时，有

则诱导出

也即

显然也有

也即

L1y(t)最终符号确定，两边同时从t2到t积分，有

可诱导出

则∃t3>t2，满足L1y(t)<0,t>t3,也即