第一作者游斌弟男，博士，副教授，1981年5月生

含空间约束航天器线缆力学建模方法

游斌弟，郑天骄，陈军，杨斌久

(哈尔滨工业大学船舶与海洋工程学院，山东威海264209)

摘要：为克服离散化模型弊端，使线缆能适应航天器内复杂空间约束工况，基于弹性细杆思想，提出含空间约束的航天器线缆力学建模方法建立线缆连续型力学模型。通过线缆惯性坐标系与局部坐标系描述线缆空间位置与形态，推导考虑线缆自重与空间约束作用的静力平衡方程，分析布线过程中典型空间约束工况，并构建无约束、端点约束、接触面约束及卡箍约束下线缆力学模型。用数值方法对典型约束工况下线缆力学模型进行计算与分析，获得线缆在无约束、接触面约束及卡箍约束下的受力规律。结果表明，布线过程中合理组合卡箍约束与接触面约束可有效提高线缆的力学性能，从而验证所建模型的普适性与可行性。

关键词：柔性线缆；力学建模；空间约束；仿真分析

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51205079);微小型航天器技术国防重点学科实验室开放基金资助(HIT.KLOF.01507374);中国博士后基金资助(2013M541358)

收稿日期：2014-05-05修改稿收到日期：2014-08-07

中图分类号:TB124；O331文献标志码：A

Mechanics modeling of spacecraft cable considering spatial constraints

YOUBin-di，ZHENGTian-jiao，CHENJun，YANGBin-jiu(School of Naval Architecture and Ocean Engineering, Harbin Institute of Technology, Weihai 264209, China)

Abstract:In order to overcome the drawbacks of discrete model and adapt to the complex spatial constraints in spacecraft, a mechanics modeling method of spacecraft cable considering spatial constraints was proposed based on the assumption of continuous thin elastic rod. A continuous mechanics model of the cable was established. The spatial position and attitude of the cable were described by inertial coordinate system and local coordinate system. And then, a static equilibrium equation of the cable considering deadweight and spatial constraints was deduced. Typical conditions of space constraints in the routing process were analyzed. Furthermore, mechanics models of the cable with none constraint, endpoint constraint, contact surface constraint and clamp constraint were established, and they were solved and analyzed using numerical method. The regularities of forces of the cable with none constraint, contact surface constraint and clamp constraint were obtained. The results show that mechanical properties of the cable can be improved effectively by combining the clamp constraint and contact surface constraint reasonably in the routing process. The universality and feasibility of the model were verified. The conclusions have important academic value and engineering significance to the mechanics modeling of the flexible cable and routing process.

Key words:flexible cable; mechanics modeling; spatial constraint; simulation analysis

卫星等航天器在轨工作时星地、星星之间信息交互频繁，工作能源、信息传递均由柔性线缆提供，因此，线缆种类繁杂、数量众多，且线缆的可靠性与安全性要求极高。为防止线缆在布线过程中约束作用下力学拉伤、过度扭转缠绕或弯曲半径过小导致力学特性下降，需对信号与能源线缆的力学特性进行分析研究。

关于对物理特性线缆等柔性体建模，较典型的有虚拟线缆模型[1]、“质点-弹簧”模型[2]、质量离散模型[3]及离散控制点模型[4]。该诸多模型均基于离散单元化思想，利用节点与刚性杆件组合替代线缆，虽便于控制，但离散后线缆自由度有限，难以精确拟合实际线缆复杂的空间几何形态，且不能满足航天器内复杂结构的空间布局及约束条件。因此，需建立满足线缆几何、物理特性要求的连续型模型。弹性细杆的非线性力学特性已广泛用于立管、植物细茎及DNA结构建模[5-7]。而Coyne等[8]以海底电缆为背景，主要对稳定性问题进行研究。刘检华等[9-10]以基于弹性细杆理论为基础建立活动线缆的物性模型，一定程度上解决了柔性线缆的建模问题；但其着重研究虚拟环境下活动线缆的运动仿真，建模中并未针对实际工况，考虑空间、载荷约束对线缆的力学特性进行研究。

本文基于弹性细杆思想，通过建立线缆惯性、局部坐标系对其空间位形进行描述；在此基础上，考虑线缆自重与空间约束作用，推导线缆的静力平衡方程；通过对航天器内实际约束分析简化，针对典型约束工况，建立典型约束工况下满足实际要求的线缆力学模型，且选算例对力学模型仿真分析，验证模型的适用性、可行性。该模型也可为其它类柔性体力学建模问题提供借鉴。

1线缆位形描述

为建立柔性线缆力学模型，需对其空间位姿与形态进行描述，建立固定的惯性坐标系(O-ξηζ)与线缆随动局部坐标系(P-xyz)，用以表达线缆的空间位形，见图1。图中，坐标系(P-αβγ)可表达线缆中心线的几何姿态，其中γ轴与α轴分别为中心线切线方向与法线方向，β轴与γ轴及α轴相互正交。切线方向γ与矢量β随中心线弧坐标s的变化率为中心线曲率κ与挠率τ，由曲率、挠率可确定线缆中心线姿态。

图1　线缆坐标系描述 Fig.1 Description of the coordinate systems of cable

实际线缆具有一定截面积，装配及布线过程中存在扭转运动，不能将线缆近似用其中心线表示。令坐标系(P-αβγ)沿轴γ旋转过扭转角χ获得线缆局部坐标系(P-xyz)，即中心线任意一点P处建立的截面主轴坐标系，坐标系(P-αβγ)与局部坐标系(P-xyz)的转换关系见表1。

表1　坐标系(P-αβγ)与 (P-xyz)转换关系

线缆中心线姿态确定后，确定扭转角χ便可获得线缆整体空间姿态，即用曲率κ、挠率τ及扭转角χ3个独立变量可完整表达线缆的几何形态。

局部坐标系(P-xyz)随线缆弧长s不断变化，引入ω为局部坐标系以弧长s为自变量相对惯性坐标系转动角位移的变化率，则ω可由局部坐标系相对坐标系(P-αβγ)转动角位移变化率与坐标系(P-αβγ)相对固定坐标系转动角位移变化率合成，即

(1)

结合表1转换关系，将ω表达式转换到局部坐标系内，得

(2)

ω在局部坐标系坐标轴上的投影为

(3)

由式(3)可知，ωx，ωy，ωz可确定线缆曲率κ、挠率τ及扭转角χ，即可确定线缆的空间姿态。故ωx，ωy，ωz同样可作为柔性线缆的3个独立变量表达线缆形态。

由于局部坐标系是随动的，工程中需将局部坐标系中线缆姿态转换到固定坐标系中描述。以定点O为原点建立惯性坐标系(O-ξηζ)，即固定的笛卡尔坐标系，通过一次平移加三次欧拉角旋转实现惯性坐标系与局部坐标系的转换。至此，由建立的柔性线缆惯性坐标系与局部坐标系已能完整表达线缆的空间位姿与形态。

2线缆力学建模

2.1基本假设与参数定义

图2　柔性线缆弧段受力平衡图 Fig.2 Static equilibrium of a section of cable

2.2线缆静力平衡方程

线缆处于静止时该段线缆为受力平衡状态，将其受力向P2点转化，则作用力在P2点的主矢与主矩均为0。记线缆自重平移到点P2产生的力矩为mGΔL，得平衡方程为

(4)

令

F1+F2=ΔF,M1+M2=ΔM

(5)

将式(4)相对弧坐标s求导，并转化到局部坐标系中，结合ω定义得微分形式为

(6)

式(6)即柔性线缆考虑自重与约束作用下的静力平衡方程。将式(6)分别投影到局部坐标轴上，得投影式为

(7)

(8)

式(7)、(8)即为柔性线缆静力平衡方程投影式。式(6)～式(8)由文献[11]拓展类比获得。

设线缆不存在原始曲率与扭率且为线性本构关系，此时线缆内力主矩[12]表达为

Mx=EIxωx,My=EIyωy,Mz=GIzωz

(9)

式中：E，G分别为线缆材料弹性模量、剪切模量，因设线缆材料各向同性，故G=E/2(1+2μ)，μ为泊松比；Ix，Iy分别为线缆截面相对x，y轴惯性矩，因线缆为圆形截面，故Ix=Iy；Iz为相对z轴极惯性矩。

将式(9)代入式(8)，化简得

(10)

因此，式(7)、式(10)组成关于Fx、Fy、Fz及ωx、ωy、ωz的封闭方程组。线缆几何参数与物理参数确定时，已知其约束力与约束力矩，对方程组积分便可求得线缆内力Fx、Fy、Fz及ωx、ωy、ωz相对弧坐标s的变化函数，进而反推获得此状态下柔性线缆的几何形态。亦可在惯性坐标系(O-ξηζ)中对ω进行欧拉变换，将ωx、ωy、ωz用欧拉角(进动角ψ、章动角θ、自转角φ)表示，即

(11)

将式(11)代入式(7)、式(10)替换ωx、ωy、ωz，求解可得欧拉角ψ、θ、φ关于弧坐标s的变化函数，同样可得柔性线缆的几何形态。

3典型约束工况下线缆力学模型

图3　典型的线缆约束工况 Fig.3 Typical constraint conditions of cable

所建线缆力学模型中约束项为广义项，需据具体情形分析。由实际情形简化所得典型布线工况见图3。对航天器内线缆排布时约束工况进行分析，获得柔性线缆的约束工况主要分为3类，即端点约束、卡箍约束及接触面约束。需说明的是，实际装配中能源与信号线多以线缆束形式布排，而本文研究只针对单根线缆，线缆束可以类比获得。

3.1无约束

分析无约束情形。在某些线缆段上柔性线缆只受自重及线缆间内力作用，无约束，即不存在Q与MQ，此时其静力平衡方程可简化为

(12)

(13)

无约束作用时线缆内力会增大，完全承受自重，此时线缆受力较大，稳定性较差，易产生波动，需尽量避免此类情形出现。

3.2端点约束

线缆两端一般与电气接口相连，实现能源与信号的传递功能，保证整个系统正常运行。因此，端点均为固定约束，将线缆两端固定于外壳体或零部件上，此时线缆曲率κ、挠率τ及扭角χ均为0，因此线缆在端点的边界条件可由式(3)、式(9)获得

(14)

由于局部坐标系各方向线缆自重均被固定约束力抵消，线缆所受内力及主矩均为0，且在该点固定不动，属静止状态。此时线缆空间位形与受力情况可作为初始状态。

3.3接触面约束

布线时主要通过卡箍定位将线缆置于壳体或零部件的平面上，使线缆存在接触面约束，即平面约束。线缆在接触面存在弯曲及平面的两个移动也会存在一定扭转，线缆挠率τ=0，仍存在曲率κ与扭角χ，其边界条件为

(15)

接触面作用下ωz值发生变化，仅与扭角大小有关；线缆所受约束为分布作用，设分布力为qΔl，分布力矩为mqΔl，则静力平衡方程为

(16)

将接触面约束下线缆力学模型式(16)、式(17)与无约束作用时式(12)、式(13)比较知，线缆受到平面约束时在局部坐标系各坐标主轴方向多出的分布约束项可抵消部分线缆自重，提高线缆稳定性。

3.4卡箍约束

图4　卡箍约束 Fig.4 The clamp constraint of cable

柔性线缆敷设、排布过程中大多使用卡箍对线缆约束定位，见图4。

卡箍对线缆的作用亦为一种局部分布力约束，设约束力、约束力矩分别为qΔl，mqΔl。在此种情况下线缆自由度为2，即沿局部坐标系z轴移动及绕z轴转动。线缆曲率κ与挠率τ为0，仅存在扭角χ。需注意的是，由于存在预紧力作用，线缆在z向亦会受到一定约束力，故卡箍约束边界条件为

(18)

由式(7)、式(10)得卡箍约束下线缆的静力平衡方程为

(19)

(20)

卡箍约束下在局部坐标系z向相邻线缆自重由约束力抵消，线缆受的内力为该段线缆自重与约束力合力，在x，y轴方向约束力需抵消由ωz产生的力；在z轴上线缆因扭转产生的力矩Mz与自身重力矩被约束力矩抵消，而x，y轴方向线缆不存在力矩项。

4典型约束工况下航天器线缆力学特性分析

以航天器中柔性线缆为研究对象，选我国卫星等小型航天器中常用的Raychem公司Spec55号线缆，取18号线规，几何与物理参数见表2。

表2　Raychem Spec55线缆几何、物理参数

对所建典型约束工况下线缆力学模型进行计算、仿真分析。由于线缆受力情形与几何形态均随线缆长度不断变化，无明确的函数关系；由于布线工况复杂，较难获得线缆静力平衡方程解析解。因此利用Matlab进行数值计算。用Runge-Kutta 4、5阶方法对线缆静力平衡方程组进行数值求解。

4.1无约束工况算例

研究一端固定、一端自由线缆段无约束作用情形。线缆仅受自重作用，其初始条件由式(14)决定，线缆处于平衡状态，所受内力初始值为单位值0，ω初始值为0。求解线缆在无约束情况下的静力平衡方程，计算结果见图5、图6。由两图看出，线缆不受约束力处于稳定状态时其内力与自重平衡，因重力影响且自重方向为正向，Fx与Fy值在震荡中处于稳定状态，Fz承受主要的自重力不断增大；ωx，ωy值震荡中处于稳定状态接近周期性变化，因ωz只受线缆自重在z向力矩影响，故呈线性逐渐增大，以抵消重力矩。

由此可知，线缆属于柔性体，自身阻尼较小，极易受外界扰动影响产生不规则运动。无约束工况下线缆在x，y轴方向无约束作用，故该两方向内力值会受如自重等外界扰动因素影响，数值在稳定值上下剧烈震荡，难达稳定状态；距固定端越远震荡越剧烈。

图5 无约束工况下线缆内力值Fig.5Internalforceofcablewithnoneconstraint图6 无约束工况下线缆ω值Fig.6Theωofcablewithnoneconstraint图7 接触面约束下线缆内力值Fig.7Internalforceofcablewithcontactsurfaceconstraint

图8 接触面约束下线缆ω值Fig.8Theωofcablewithcontactsurfaceconstraint图9 卡箍约束下线缆内力值Fig.9Internalforceofcablewithclampconstraint图10 卡箍约束下线缆ωz值Fig.10Theωzofcablewithclampconstraint

4.2接触面约束工况算例

研究一端固定、一端自由线缆段存在接触面约束作用情形。此时线缆位于接触面之上，受自重及接触面约束作用，线缆初始条件由式(14)决定，边界条件由式(15)决定。因此线缆处于平衡状态时所受内力初始值为单位值0，ω初始值为0。求解线缆在接触面约束情况下的静力平衡方程，计算结果见图7、图8。将计算结果与图5、图6对比看出，接触面约束工况下线缆内力与ω值变化规律与无约束时变化趋势十分接近，不同之处在于约束的存在起到对线缆自重抵消作用，各项参数值变化率均大幅度变小，且变化趋于缓和。

4.3卡箍约束工况算例

计算分析一段受卡箍约束作用线缆，其边界条件为式(18)，令线缆在卡箍作用下起点所受内力初始值为单位值1，ω初始值为0。由于卡箍中线缆的ωx，ωy值均为0，仅计算ωz，所得结果见图9、图10。由两图看出，线缆内力Fx与Fy值相同，由于卡箍的约束作用，Fx，Fy随线缆长度增加逐渐被抵消，最终趋于稳定；而内力在z轴方向与约束力、重力合力呈线性关系，可保持平衡状态；对ωz值与约束力矩、重力矩合力矩呈线性关系，随线缆长度线性减小，由于约束作用，ωz沿初始值反向变化，并逐渐抵消初始值。

因此，线缆处于平衡状态时受力作用主要集中于轴线方向，且距固定端越远受力越大；接触面约束与卡箍约束较无约束情形受力作用均大幅减小，卡箍约束可消除线缆在周向的不稳定颤动。故布排时用卡箍固定于壳体或零部件表面之上避免线缆悬空。通过数值仿真所得结果与实际符合，从而亦证实线缆力学模型的适用性。

5结论

(1)通过建立线缆惯性及局部坐标系完成对线缆位形的描述；考虑线缆自重与空间约束，建立连续型线缆力学模型。

(2)对布线过程中航天器内典型约束工况进行分析，获得边界条件，构建典型约束工况下线缆的力学模型。

(3)通过数值方法对典型约束工况下线缆力学模型计算分析，获得线缆在无约束、接触面约束及卡箍约束下受力规律，即接触面、卡箍约束能大幅度减小线缆受力、提高力学性能。此对其它柔性绳索力学建模具有普适性、借鉴性。

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