黄志远，邱浩波，蔡习文

(华中科技大学 机械科学与工程学院，湖北 武汉 430074)



IDIRECT-HDMR高维近似模型方法及工程应用

黄志远，邱浩波，蔡习文

(华中科技大学 机械科学与工程学院，湖北 武汉 430074)

摘要：元建模常用于近似求解输入与输出间的映射关系。随着维度的增加，其计算成本将呈指数增长，使得常用的回归方法难以获得高精度的近似模型。提出一种基于改进分割矩形IDIRECT(improved dividing rectangles)采样的高维模型表示HDMR(high-dimensional model representation)方法，称为IDIRECT-HDMR。该方法将高维问题转化为一系列低维问题求和，从而用较少的样本点获得较高精度的近似模型。采用多维度的数值算例验证IDIRECT-HDMR的可行性并将其应用于工程实例。

关键词：元建模；分割矩形；高维模型

0引言

近年来，元建模技术广泛运用于工程优化的近似求解问题。常用的近似建模方法有：多项式回归PR(polynomial regression)[1]、克里金插值(Kriging)[2]、径向基函数RBF(radial basis function)[3]、最小移动二乘法MLS(moving least square)[4]等。这些方法在提高建模效率以及模型精度上有了一定的发展，但实践证明仅适用于低维问题，对于高维问题，要保证模型精度，其计算成本将随维度的增加呈指数增长。

文中提出了一种基于IDIRECT采样的高维模型表示方法，IDIRECT-HDMR。这种方法结合了HDMR的层次结构优势以及IDIRECT的智能采样策略，从而利用少量的样本点构建出高精度的近似模型。

1基本理论

1.1HDMR

(1)

(2)

(3)

(4)

…

(5)

当式(1)中的所有组成函数构建完成，则用这个HDMR表达式取代原物理模型。式中每一项都有鲜明的数学含义，如果输入变量间没有任何相关关系，那么表达式中只含零阶项和一阶项。实验证明，高阶项对输出函数的影响是有限的，在大多数工程问题中，这种影响可以忽略不计，HDMR展开到二阶项时就足够反映出原物理模型。

1.2IDIRECT采样方法

DIRECT[9]算法主要用于求解带边界约束的最优问题，它能权衡全局与局部的寻优关系，且收敛速度快、鲁棒性强。当最优点确定后，就可以在它附近区域构建HDMR近似模型，这将有效地缩减原设计空间。不失一般性，DIRECT通常将设计空间归一化为单位超立方：

(6)

c1表示这个超立方中心。对点ci±δei,i=1,2,…,d进行采样，其中δ等于立方体边长的1/3，ei是第i个欧几里德向量。得到对应点的评价函数值并取最优值wi：

(7)

然后将wi所在的区域划分为三等份，ci±δei则成为新的超矩形中心，重复这个过程直到满足收敛准则。

虽然DIRECT采样方法能有效地缩减样本空间，但将其引入函数逼近问题时，会产生一个难以避免的误差，即求得的近似模型在边界区域的逼近能力较差。为了获得精度更高的回归模型，本文改进了DIRECT的采样策略。

由于DIRECT采样过程不选择边界点，而边界区域的样本点通常又影响着建模精度，因此，主要的改进策略为：当原方法对超立方中心采样取值后，不直接对点ci±δei,i=1,2,…,d进行采样，而是先对各维度的边界点采样取值，然后再通过评价函数进行后续的划分采样。图1表示了一个二维问题，采用IDIRECT的划分策略。图中每一行代表一个新的迭代过程，第一列到第二列的转变表示潜在最优超矩形的识别。第二列的阴影区域表示对潜在最优超矩形的选择。第三列指潜在最优超矩形划分结束的状态。

图1　IDIRECT的划分策略

1.3IDIRECT-HDMR近似模型方法

在对原模型函数逼近时，底层函数的特性通常是未知的，尤其是黑箱求解问题。IDIRECT-HDMR可以通过较少的样本点获得原模型输入与输出间的映射关系。其具体求解步骤为：

影响建模的计算成本主要有三个因素：维度、变量的取值范围以及收敛准则。当其他条件不变，仅考虑维度变化时，IDIRECT-HDMR展开到l阶的计算成本为：

(8)

式中，s是每个维度的采样个数。计算成本随着维度d的增加呈多项式增加。而常用的近似方法采用全因子设计时，其计算成本达到sd。因此，IDIRECT-HDMR大大降低了建模成本，若其表达式仅展开到二阶项时，建模效率将进一步得到提高。

2算例分析2.1评价指标

(9)

(10)

RMAE=

(11)

这是评价近似模型局部精度的重要指标，它描述了设计空间某一局部区域的误差，且RMAE越小越好。

2.2函数算例

如表1所示，使用4个典型的测试算例，其中包括两个低维函数(二维与三维)和两个高维函数(十维)。采用IDIRECT-HDMR构建它们的近似模型，通过3个评价指标验证模型的函数逼近能力。取测试样本点个数为1000，测试结果如表2所示，NOP表示构建模型所需的样本点数。

表1　测试函数

表2　测试函数评价结果

表2数据可知，无论高维还是低维的测试函数，IDIRECT-HDMR构造的近似模型都有很高的函数逼近能力，且所需的样本点也较少。针对以上算例，学者Simpson[10]采用传统的近似方法进行了回归验证，图2给出了各评价指标的平均值，3个评价指标均明显比本文提出的近似方法所得的结果差。因此， IDIRECT-HDMR相对其他近似方法而言，能更精确地求解高维模型的函数逼近问题。

图2　各种近似模型评价指标的柱状图

2.3工程算例

图3是一个立柱的三维模型，立柱左侧有一引导横梁上下移动的导轨。机床加工过程会使导轨发生挠度变形，导致横梁不能沿垂直方向运行，影响机床的加工精度。因此，在对机床进行结构设计前，必须找到立柱各尺寸参数与导轨挠度变形间的映射关系。选用立柱的8个尺寸参数作为设计变量，导轨的挠度变形为响应。

图3　立柱的三维模型

利用Hypermesh网格化分，获得其有限元模型。并采用OptiStruct求解器对该模型进行有限元分析。由于立柱每一次尺寸参数的变化都需要重新建模求解，导致每获取一个样本点都要耗费大量的时间，应利用尽可能少的样本点获得较高精度的近似模型，因此采用IDIRECT-HDMR近似建模方法。并随机生成了一组测试样本点验证模型的近似精度，结果如表3所示。

表3　工程算例测试结果

表3中，一阶扩展模型表示IDIRECT-HDMR近似模型仅扩展到一阶项，即模型只含常数项和一阶项；二阶扩展模型表示近似模型扩展到了二阶项。根据表中结果可知，采用文中提出的IDIRECT-HDMR方法能够用少量的样本点构造出高精度的近似模型。因此，在求解此高维工程问题时，IDIRECT-HDMR有着极高的求解效率和近似精度，并且模型的构建过程可以得到各变量间的耦合关系，这有助于立柱的结构设计。比较一阶扩展模型和二阶扩展模型可知，一阶扩展模型也有相对较高的精度，且模型的构建只需极少的样本点。因此，在一些对精度要求不高，但需快速获取近似模型的工程应用中，有时可以将IDIRECT-HDMR模型只扩展到一阶项。

4结语

提出的IDIRECT-HDMR近似模型方法获得了较高的精度和建模效率，并成功运用于工程实例中。该方法的主要优势总结为以下几点：

1) 采用HDMR结构，将高维问题转化为一系列低维问题求和。随着维度的增加，计算成本从指数增长降为多项式增长。

2) 采用IDIRECT采样方法，提高了模型的收敛速度并控制了采样数量。

3) 该方法能够自主地判断函数的线性与否以及各变量间的相关关系。

4) 相对其他的近似方法，IDIRECT-HDMR能更好地保证模型精度与建模效率。

虽然IDIRECT-HDMR近似模型方法在一定程度上解决了高维建模的困难，并获得了一定的应用前景。但是本方法还有较大的发展空间，例如采样方法的深入研究；模型扩展阶数的合理选择等。对于一些复杂工程算例，如含有噪声的工程系统，该方法需要进一步地完善和发展。

参考文献:

[1] Caglar, H. and N. Caglar, Solution of fifth order boundary value problems by using local polynomial regression. Applied mathematics and computation, 2007，186(2): 952-956.

[2] ZENG, H.-e. and S.-x. HUANG, Research on spatial data interpolation based on Kriging interpolation [J]. Engineering of surveying and Mapping, 2007，5: 001.

[3] Guillén, A., et al., Output value-based initialization for radial basis function neural networks. Neural Processing Letters, 2007，25(3): 209-225.

[4] Breitkopf, P., et al., Moving least squares response surface approximation: formulation and metal forming applications. Computers & structures, 2005，83(17): 1411-1428.

[5] Rabitz, H. and Ö.F. Ali, General foundations of high‐dimensional model representations. Journal of Mathematical Chemistry, 1999，25(2-3): 197-233.

[6] Wang, H., L. Tang, and G. Li, Adaptive MLS-HDMR metamodeling techniques for high dimensional problems. Expert Systems with Applications, 2011，38(11): 14117-14126.

[7] Shan, S. and G.G. Wang. Development of adaptive RBF-HDMR model for approximating high dimensional problems. 2009，ASME.

[8] Li, G., et al., High dimensional model representations generated from low dimensional data samples. I. mp-Cut-HDMR. Journal of Mathematical Chemistry, 2001，30(1): 1-30.

[9] Finkel, D.E., DIRECT optimization algorithm user guide. Center for Research in Scientific Computation, North Carolina State University, 2003， 2.

[10] Simpson, T.W., Comparative studies of metamodeling techniques under multiple modeling criteria. 2000.

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IDIRECT-HDMR Approximation Model for High Dimensional

Problems and Engineering Application

HUANG Zhi-yuan, QIU Hao-bo, CAI Xi-wen

(School of Mechanical Science and Engineering; Huazhong University of Science & Technology, Wuhan 430074, China)

Abstract:Metamodeling is often used for approximate mapping between the input and output variables. Popular regression methodologies are inapplicable to the accurate metamodels for high dimensional practical problems since the computational time increases exponentially as the number of dimensions rises. This paper proposes a new form of high-dimensional model representation (HDMR) by integrating an intelligent sampling strategy, namely, Improved Dividing Rectangles (IDIRECT), termed IDIRECT-HDMR. In this method, few sample points are used to obtain accurate metamodels by transforming a high dimensional problem into a series of low dimensional problems. Some mathematical test functions with a wide scope of dimensionalities are used to demonstrate the performance of IDIRECT-HDMR, and this method is applied to the practical application example.

Keywords:metamodeling; dividing rectangles; high-dimensional model

基金项目：福建省自然科学基金资助项目(2013J01185)；福州大学人才基金资助项目(XRC-1157)

收稿日期：2014-12-03

中图分类号：TP391.9

文献标志码：B

文章编号：1671-5276(2015)03-0100-04

作者简介：黄志远(1989-)，男，江西南昌人，硕士研究生，主要研究方向为高维模型近似求解策略与结构优化设计。