□吴育弟

巧妙应用方程增根

□吴育弟

解分式方程时，一般要将分式方程变形为整式方程.由于这种变形可能扩大了未知数的取值范围，使得方程产生增根，不少同学往往只重视对增根的检验，忽视充分发挥增根的潜在作用.如果能进一步认真分析增根产生的原因，那么在确定有关分式方程字母系数的值时，往往能够巧妙得解.

一、利用方程有增根求值

例1若关于x的方程有增根，则a的值为_______.

分析：增根是化为整式方程后产生的根，但不适合分式方程，一般是使分母为零.先确定增根的可能值，让最简公分母x－1＝0，得到x＝1，然后代入化为整式方程的方程算出未知字母的值.

解：方程两边都乘（x－1），得ax＋1－（x－1）＝0.

∵原方程有增根，

∴最简公分母x－1＝0，即增根为x＝1，

把x＝1代入整式方程，得a＝－1.

点评：方程的增根不适合原方程，但适合去分母后的整式方程，这是求字母系数的重要方法.解这类增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

二、求m为何值方程会产生增根

分析：方程两边都乘以最简公分母（x－2）（x＋2），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入计算即可求出m的值.

解：去分母得2（x＋2）＋mx＝3（x－2）.

如果方程产生增根，那么必须有最简公分母（x＋2）（x－2）＝0，即x＝2或x＝－2.

综上所述，当m＝－4或m＝6时，原方程会产生增根.

点评：若解得方程的根是关于某一字母的一个代数式，在确定方程的解的情况时，应分类讨论使其值为增根的字母的值.